§7. Значение Западноевропейской математики 18 в. Для дальнейшего развития математики.

В 18 в. доминирующее положение продолжал занимать анализ, который разделялся на несколько относительно самостоятельных дисциплин. Дифференциальное и интегральное исчисление распространяется на ф-ции комплексного переменного, причем, методы теории аналитических ф-ций вскоре находят применения в решении уравнений с частными производными и в картографии. В недрах интегрального исчисления выделяется учение об определенных интегралах и специальных функциях – эллиптических интегралах, цилиндрических функциях, интегральном логарифме. В середине 18 века выделяется теория дифференциальных уравнений (как новая ветвь анализа), разделяющаяся на две ветви - обыкновенных уравнений и уравнений с частными производными.

В теории рядов возникают новые направления: асимптотические разложения и суммирование расходящихся рядов. Также в середине 18 в. оформляется в самостоятельную дисциплину вариационное исчисление.

Успехи анализа в немалой степени отразились на развитии других м-ких наук, его методы проникли в теорию чисел, алгебру, учение о конечных разностях, теорию вероятностей, геометрию. В алгебре принципиально новые идеи были порождены в ходе изучения вопроса о разрешимости уравнений в радикалах, как и вопроса о приводимости ур-ний. Значительное развитие получает теория чисел. В теории вероятностей важнейшим событием была посмертная публикация закона больших чел Я.Бернули, установление центральной предельной теоремы, работы по теории ошибок, приложения к статистике и страховому делу.

В геометрии наряду с дальнейшим прогрессом аналитической и особенно дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей, а также с применением некоторых новых важных преобразований следует отметить 2 обстоятельства. Первое связано с задачами строительства →начертательная геометрия →проективная геометрия (возродившейся в начале 19 в.). Второе – резкий подъем в исследованиях по теории параллельных линий →открытие неевклидовой геометрии (начало 19 в.).

Дифференциация м-ки не влекла за собой утраты единства этой науки. Напротив, по мере возникновения новых ее отделов усиливались внутренние связи между ними, понятии и методы одних областей плодотворно принимались в другие. М-ка развивалась как единое целое!

§8. Краткая характеристика развития м-ки в Западной Европе 19 в.

М-ка в 19 в. перешла на новую, более высокую ступень абстракции.

Революционный переворот в м-ке 19 в. заключается, прежде всего, в том, что метафизическим представлениям был нанесен сокрушительный удар.

В области геометрии такой удар был нанесен открытием первой системы неевклидовой гиперболической геометрии, o которой в печати выступили Н.И. Лобачевский (1829) и Я. Бояи (1831). А также в создании в 40-е годы Кэли и Грассманом многомерной евклидовой геометрии, получившей в 50-х годах значительное развитие в работах Л. Шифли, а затем и многомерной проективной и аффинной геометрий, в которых было обобщено проективных и аффинных свойствах фигур трехмерного пространства. Учение о многомерных пространствах вместе с гауссовой внутренней геометрией поверхностей (1827) привели Римана к идее многомерного искривленного пространства (1854). Риман же и Коши с разных точек зрения подошли к эллиптической геометрии, которая для Римана была пространством постоянной положительной кривизны, а для Кэли – простейшей из проективных метрик. Вскоре Э. Бельтрами показал, что пространство Лобачевского – это пространство постоянной отрицательной кривизны, а Ф.Клейна – это также пространство с проективной метрикой. Идеи Клейна и Римана легли в основу геометрии пространства – времени соответственно специальной и общей теории относительности Эйнштейна.

Листинг и Риман положили начало топологии соответственно линий и поверхностей; к Риману же восходят и результаты Э. Бетти по топологии многомерных многообразий, развитой в конце 19 в. Пуанкаре.

В области арифметики и алгебры первый удар по традиционным представлениям о количестве был нанесен открытиями кватернионов Гамильтона (1805-1865) и чисел с многими единицами Грассмана (1843-1844). Если гиперболическая геометрия доказала возможность абстрактного неевклидова пространства, то эти гиперкомплексные числовые системы свидетельствовали о возможности некоммутативных алгебр.

55