§3. Развитие м-ки у народов Средней Азии и Ближнего Востока.

Первым по времени крупным м-ком у народов, входивших в состав халифата (сначала столица Дамаск затем Багдад), был великий узбекский (хорезмийский) м-к и астроном 19 в. Мухаммеда Бен Мусса аль-Хорезми (2-я пол. 8 в.). Первая его работа это составление таблиц тригонометрических величин. Наиболее ценными для развития м-ки являются труды по алгебре и арифметике. Алгебраическое сочинение, впоследствии было переведено на латинский язык и служило долгое время в Европе основным учебником по м-ке. В алгебре аль-Хорезми есть специальный раздел о торговле и торговых сделках. С помощью уравнений решаются некоторые геометрические задачи (например, задачи на определение высоты по трем сторонам). Аль-Хорезми в своей работе излагает и теорию, указывает приложение этой теории и многие правила поясняет геометрическими образами.

В основном его работа устанавливает методы решения ур-ний. Название новой науки − алгебра − обязано происхождением аль-Хорезми, так как оно возникло из названия операции альджебр, к-рой аль-Хорезми пользовался в своей работе.

В алгебраическом сочинении аль-Хорезми дано решение ур-ний 1-ой и 2-ой степени.

Для квадратных ур-ний он не приводит общего решения, а на числовых примерах рассматривает 6 различных типов квадратных ур-ний, для каждого из к-рых и дает особые способы решения. Эти 6 типов в современной записи могут быть представлены так:

.

С именем аль-Хорезми связан м-кий термин, к-рый вошел в употребление совершено случайно. Латинизированное имя аль-Хорезми превратилось в «алгоритмус», а затем в алгоритм, и под этим словом сначала подразумевали индийскую нумерацию, а впоследствии им начали выражать всякую систему или последовательность вычислений.

Мухаммед ибн Джабир ибн Синан (850-929) (в историю вошел под именем аль-Баттани), был уроженцем г. Баттана в Месопотамии, конец жизни провел в г.Дамаске. В сочинении «О звездной науке» он оперирует понятием полухорды, т.е. подобно индийцам вводит синус, причем дал ему ошибочно укоренившееся название, соответствующее слову «пазуха». В этом же сочинении он впервые вводит в употребление понятие, равносильное нашему котангенсу, и составляет таблицу котангенсов для углов через каждый градус.

Сабит ибн Корра (836-901), земляк аль-Батани. Его важнейшими трудами были 2 трактата по теории линий и трактат о составных отношениях, подготовивший расширение понятия о числе, трактат о «фигуре секущих», имевший большое значение в развитии сферической тригонометрии, трактат о солнечных часах, в к-ром приведено правило, равносильное общей сферической теореме косинусов, трактат о сечениях цилиндра (вычислен частный случай эллиптического интеграла).

Мухаммед аль-Бузджани Абдуль-Вафа (940-998) − перс, составил таблицы синусов через каждые с точностью до четвертого шестидесятеричного знака, т.е. до в шестидесятеричной записи. Абдуль-Вафа ввел в употребление тангенс и котангенс под названием прямой и обратной тени (т.к. вбитый вертикально в землю кол и его тень можно рассматривать как катеты прямоугольного ∆, отношение к-рых и дает tg и ctg угла наклона солнечных лучей) и секанс с косекансом.

Абу Бекра Мухаммеда ибн Хасана аль-Караджи (11 в.), в его трудах указываются методы извлечения корней выше 2-ой степени. Имеется и решение уравнений высших степей, вида: . Выражения для суммы квадратов и суммы кубов натурального ряда чисел.

Омар Хайям (1040 − ок.1123), родился в г. Нишапуре (к югу от Ашхабада, ныне входит в состав Ирана), основной м-кий труд − «О доказательстве задач алгебры и аль-мукабалы», в к-ром он выделяет алгебру как вполне самостоятельную м-ую дисциплину. В этой работе он классифицирует алгебраические ур-я 1-ой, 2-ой, 3-й степеней, положив в основу классификации степень ур-я и расположение его членов; расположение должно удовлетворять условию, чтобы ни в правой, ни в левой части ур-я не было отрицательных членов.

Абу Наср Мухаммед ибн Тархан аль-Фараби (870 − 950), занимался исследованием иррациональных чисел, известны его работы в области геометрических построений.

Джемшид ибн Масуд аль-Каши (15 в.), наиболее значительные труды для развития м-ки были «Ключ к арифметике» и «Трактат об окружности». Ввел десятичные дроби; выразил отношение длины окружности к диаметру не только в шестидесятеричных дробях, но и в десятичных; здесь разъясняется, как производить действия умножения и деления над десятичными дробями.

В работе «Ключ к арифметике» аль-Каши подробно излагает теорию десятичных дробей и указывает методы перехода от шестидесятеричных дробей к десятичным; встречается выражение для разложения любой натуральной степени бинома. Это разложение было использовано аль-Каши для извлечения из чисел корней любой степени. Приближенное извлечение корней у прежних авторов можно представить в наше время в виде формулы

, а аль-Каши встречается выражение, к-рое при помощи формулы запишется так:

.

Вывод: народы Ср. Азии и Ближнего Востока, приняв эстафету развития м-ки от греков, понесли ее дальше; их результаты впоследствии, после эпохи Возрождения, стали основой появления и развития новой современной м-ки − м-ки переменных величин.