§1. Предмет «История математики».

1. Основные понятия.

История математики (и.м.) − это наука, изучающая процесс развития математики в разное время в разных регионах, закономерности появления и развития математических понятий и теорий.

И.м люди начали интересоваться с древнейших времен, как только появились знатоки математической науки. Известны имена первых ученых, написавших трактаты, посвященные и.м. это: древнегреческие ученные ЕВДЕМ (III в. до н.э.) и ТЕОФРАСТ (IY в. до н.э.).

Слово «математика» возникло в Древней Греции, примерно в Y в. до н.э. Происходит оно от слова «матема», что означало «учение», «знания, полученные через размышления». Древние греки различали 4 матемы:

1. арифметика (учение о числе);

2. геометрия (учение о фигурах и об их измерениях);

3. гармония (учение о музыке);

4. астрономия (с астрологией).

В то время среди греческих ученых наметилось два направления:

1. наука − дело тайное, предназначено только для посвященных, никто не должен делиться своими открытиями. Последователи этого направления назывались акузматиками (акузма − от греческого священное писание). Это направление возглавил ПИФАГОР;

2. наоборот − матема, доступна всем. Последователи этого направления назывались математиками. Это направление возглавил ГИППАС МЕТАПОНТСКИЙ.

В результате долгой борьбы между собой этих дух направлений, победило второе направление, и возникла прекрасная наука, которую назвали математикой.

И. м. − та область знаний, которая поможет учителю математики сформировать нестандартное мышление своих учеников!

2. Периодизация истории математики.

И. м. можно изучать (излагать) в разных аспектах. Например, по политико-экономическим формациям (м. времен рабовлад-го, феод-го, капит-го строя и т.д.), по странам и континентам (и. м. З.Е., и.м. России и т.д.), по разделам м. (и. арифметики, и. тригонометрии и т. д.), по биографиям крупных ученных (персоналиям) и др. Все это, разумеется, нужно и полезно, однако, при таких подходах к и.м. не будут учтены специфические периоды развития м., не будет прослеживаться логика развития м-ки.

Поэтому наиболее удачной, (как нам кажется) периодизацию и.м. предложил академик А.Н. КОЛМОГОРОВ, который выделяет 4 основных периода:

1. зарождение м-ки;

2. зарождение элементарной м-ки;

3. создание м-ки переменных величин;

4. создание современной м-ки.

В свою очередь, первый период − зарождение м-ки, делят на:

1.1. предыстория м-ки;

1.2. эпоха накопления первых математических знаний.

1.1. Это время, когда человечество создавало первые основные м-кие понятия, но от которых ни осталось никаких вещественных следов: ни записей, ни архитектурных и скульптурных памятников и пр. В этот период человечество постепенно вырабатывало:

▪ понятие о натуральном числе,

▪ приемы счета,

▪ знакомились с простейшими геометрическими образами.

1.2. Это время, когда появились первые древнейшие государства. В этот период появляются:

▪ записи чисел,

▪ арифметические операции над ними,

▪ устанавливаются некоторые практические сведения из геометрии,

▪ решаются простейшие задачи алгебраического характера.

Однако м-кие записи не сопровождаются обобщениями и не имеют строгого теоретического обоснования.

Кратко охарактеризуем 2 период развития м-ки (6 в. до н.э. до 17 в. н.э.). В это время получает развитие:

▪ учение о постоянных величинах,

▪ добытые человечеством практические сведения из области м-ки получают теоретическое обоснование,

▪ формируются основные разделы м-ки: арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия.

3 период развития м-ки (с 17 в. до второй половины 19 в.), характерен тем, что м-ка развивалась преимущественно как математический анализ:

▪ зарождение учения о б.м. величинах,

▪ создание новых разделов м-ки − аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчислений, теории вероятностей.

4 период развития м-ки (со второй половины 19 в. до настоящего времени).

Рассмотрим, чуть подробнее первый период − зарождение м-ки (1.1.).

М-ка, как и многие другие науки, берет свое начало в дописьменной древности, не имеющей фактической основы. Однако результаты изучения историками быта народов, их языка и преданий, дают нам возможность судить о том, как происходило формирование простейших понятий математических абстракций − чисел, фигур.

Число служит мерилом количественных отношений во всех проявлениях окружающей нас жизни. Однако нет ответа на то, когда и как возникло у человека понятие числа!!!!

Считается, что самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Так, например, историк В.В. Бобынин (1849-1919) объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывал рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Т.о., начало счисления Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество.

Появление элемента «два» объясняется тем же автором выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку.

При выражении понятия «три» встретилось затруднение: у человека нет третьей руки, оно было преодолено, когда человек догадался помещать третий предмет у своих ног. Т.о., «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно легко произошло выделение и понятия «четыре», т.к., с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой − возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.

На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или реальным размещением пересчитываемых предметов в руках или у ног, или же соответствующими телодвижениями и жестами.

В м-ку входит первая абстракция, заключавшаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими, однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету ставится в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (т.е. один камешек, один узелок на шнурке ит.д.).

Развитие счета пошло значительно быстрее, тогда, когда человек догадался обратиться к своим пальцам. Быть может, первым счетам по пальцам было указанием пальцем на предмет. В данном случае палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счете помогло человеку переступить за число четыре, т.к. когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счет до пяти.

Дальнейшее развитие счета потребовало усложнение счетного аппарата, и здесь человек нашел выход (!!!!): привлекая к счету сначала пальцы второй руки, а затем, распространяя свой прием на пальцы ног (древние племена не носили обувь!).

Словесный счет начал развиваться лишь тогда, когда ведущей формой производства стало с/х. Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел.

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего расширения и углубления понятия числа. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой − стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами.

Итак, развитие понятия о числе способствовало развитию одного из разделов м-ки − анализа, с другой стороны наблюдения человека за окружающими его объектами, их формой и развитием методов различных измерений способствовали зарождению другого раздела м-ки − геометрия.

История зарождения геометрических понятий по своему характеру напоминает историю зарождения числа и счета. Постепенно человек знакомился с различными формами, к-рым он старался подражать, создавая необходимые для него предметы быта. Однако эти формы запечатлевались в его сознании несколько идеализировано − в виде правильных фигур, каковых в самой природе не встречается, но подобное представление помогала человеку их запомнить и успешно воспроизводить при выработке предметов бытового характера. Такого рода понятия, абстрагированные из окружающего мира, и являлись первыми геометрическими понятиями, причем данные человеком названия надолго сохранялись за ними, а некоторые применяются и в наше время.

Т.о., развитие геометрических представлений вырабатывалось в течение длительного времени: история материальной к-ры подтверждает, что люди с эпохи позднего палеолита свои представления о количествах и формах, присущих отдельным вещам, совершенствовали и преобразовывали в понятие числа и геометрической фигуры.