Задание №3. Часть первая Расчет вала на изгиб с кручением.

Для заданной схемы стального вала постоянного сечения (рис. 23, 24, 25, 26, 27) в соответствии с заданным вариантом нагрузок (табл. 3.1) требуется:

• определить крутящие моменты по заданным величинам мощностей N, кВт и частоте вращения вала n, об/мин;

• построить эпюру крутящих моментов;

• определить силы, действующие на вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

• построить эпюры изгибающих моментов от сил, действующих на вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях;

• построить суммарную эпюру изгибающих моментов;

• найти опасное сечение вала и используя III теорию прочности, определить диаметр вала, если допускаемое напряжение ;

• исследовать напряженное состояние в наиболее опасной точке вала.

Методика выполнения задания.

При изгибе с кручением в поперечном сечении возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий и крутящий момент (поперечные силы при расчете обычно не учитывают).

Расчет на прочность в этом случае ведут по наибольшему эквивалентному напряжению, определенному по III и IV теориям прочности.

. (3.1)

. (3.2)

Таблица 3.1

Исходные данные к заданию №3

№	N, кВт	N1, кВт	n, об/мин	D, мм	D1, мм	D2, мм	Q, кН	Q1, кН	a, мм	0	0
1	8	4	200	800	400	200	1,00	0,60	400	20	45
2	9	4	150	700	350	100	0,80	0,40	500	30	20
3	12	5	300	1000	300	150	0,90	0,50	500	45	15
4	15	6	400	900	500	250	0,80	0,50	400	45	30
5	17	8	340	600	250	200	0,70	0,30	700	35	30
6	19	7	450	750	350	220	0,75	0,40	300	25	30
7	10	4	500	850	240	240	0,70	0,25	500	40	60
8	22	14	440	650	300	200	0,65	0,40	400	50	40
9	16	6	600	900	400	230	0,85	0,35	300	60	70
10	26	15	700	600	300	150	0,60	0,20	600	80	60
11	20	8	200	800	260	240	0,80	0,30	500	75	15
12	28	12	1400	700	250	180	0,70	0,40	700	15	75
13	30	12	300	850	300	210	0,95	0,60	400	65	75
14	19	11	1200	750	400	250	0,75	0,35	600	25	45
15	25	10	500	1000	450	200	1,00	0,30	300	30	60
16	45	22	1500	900	300	220	0,90	0,25	300	25	60
17	35	20	250	800	350	240	0,80	0,40	400	45	15
18	32	14	800	600	280	180	0,70	0,20	500	35	30
19	40	25	700	700	300	260	0,65	0,30	700	30	45
20	42	26	1000	850	400	250	0,85	0,45	600	45	80

Примечание: Если на схеме вала не показаны углы и , Направление сил t и P принимаются по схеме (вертикальными или горизонтальными).

Рисунок 23

Рисунок 24

Рисунок 25

Рисунок 26

Рисунок 27

где и - изгибающий и крутящий моменты; - допускаемое напряжение; - осевой момент сопротивления сечения; d – диаметр вала.

Пример. Шестерня диаметром D=20 см воспринимает вращение от двигателя мощностью 20 кВт и через вал передает его на два шкива диаметром D₁=30 см и D₂=40 см, которые приводят в движение рабочие органы машины (рис. 28). Используя III теорию прочности, определить диаметр вала, если частота вращения его n=400 об/мин, а мощность, передаваемая первым шкивом N₁=12 кВт. Допускаемое напряжение для материала вала .

Решение. Определяем вращающие моменты, приложенные к шестерне и шкивам, построим эпюру крутящих моментов.

Вращающий момент на шестерне

На первом шкиве

На втором шкиве

По этим данным строим эпюру крутящих моментов.

Определяем силы, изгибающие вал в вертикальной и горизонтальной плоскостях.

Окружное усилие шестерни:

Вертикальная составляющая этого усилия:

Горизонтальная составляющая:

Натяжение ведомой ветви ремня шкива 1:

Полное усилие, передаваемое через шкив 1:

Натяжение ведомой ветви ремня шкива 2:

Рисунок 28

Полное усилие, передаваемое через шкив 1:

Строим эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Из условия равновесия определяем реакции опор в вертикальной плоскости:

Определяем величину изгибающих моментов в вертикальной плоскости:

в сечении А:

в сечении С:

в сечении Д:

По этим данным строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости. Определим реакции опор и изгибающие моменты в горизонтальной плоскости:

По полученным результатам строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости.

Строим суммарную эпюру изгибающих моментов:

в сечении А

в сечении С

в сечении Д

используя теорию прочности подбираем диаметр вала по наиболее опасному сечению. Наиболее опасным будет сечение А. Следовательно, из условия прочности:

Таким образом, ;

. По ГОСТ принимаем .

Таблица 3.2

Диаметр, мм	Момент сопротивления сечения, см3	Диаметр, мм	Момент сопротивления сечения, см3
30	2,65	220	1045
35	4,21	240	1357
40	6,28	260	1726
45	8,95	280	2155
50	12,27	300	2651
60	21,20	320	3217
70	33,67	340	3859
80	50,27	360	4580
90	71,57	380	5387
100	98,17	400	6283
110	130,7	420	7174
125	191,7	440	8363
140	269,4	460	9556
160	402,1	480	10857
180	572,6	500	12272

Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке вала. Здесь действуют изгибающий момент и крутящий момент (рис. 25 а). В поперечном сечении вала возникают нормальные напряжения от изгиба и касательные напряжения от кручения.

Нормальные напряжения определяем по формуле

где 0

Эпюра напряжений показана на рис. 29 а.

Рисунок 29

Наибольшие по абсолютной величине нормальные напряжения возникают в точках E и F сечения А:

Касательные напряжения определяем по формуле:

где 0

Эпюра напряжений показана на рис. 29 а. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках, расположенных по периметру сечения :

Наиболее опасными для пластического материала являются точки Е и F, в которых и достигают наибольших значений.

Напряженное состояние выделенного в окрестностях точки Е элемента и напряжения, возникающего на его гранях, показаны на рис. 29 б.

Таким образом, в опасной точке возникает плоское напряженное состояние. Главные напряжения определяем по формуле

, ,

Определяем положение главных площадок (рис. 29 в)

;

Проверим прочность по III теории

По IV теории прочности

Условия прочности выполняются.

Задание N3