Задание № 2 Расчет статически неопределимых систем методом сил

Для заданной статически неопределимой рамы (рис. 19, 20),в соответствии с заданным вариантом нагрузок (табл. 2.1) методом сил раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов.

Методика выполнения задания № 2

Для статически неопределимых систем, к которым относятся большинство встречающихся на практике конструкций, уравнений статики недостаточно при определении всех реакций связей и внутренних силовых факторов. При выполнении задания № 2 на примере статически неопределимой рамы закрепляется материал по раскрытию статически неопределимых систем методом сил. Этот метод основан на приведении заданной системы к статически

Рисунок. 20

Таблица 2.1

Исходные данные к заданию №2

№	Размеры		Нагрузки
	l, м	h, м	Р1, кН	Р2, кН	Р3, кН	q1, кН/м	q2, кН/м	q3, кН/м
1	8	8	40	-	-	-	-	10
2	8	6	-	20	-	10	10	-
3	8	6	60	40	-	-	10	-
4	8	6	-	-	-	20	10	-
5	6	6	-	20	-	20	-	-
6	7	5	-	-	30	20	-	-
7	6	4	80	-	-	-	20	-
8	8	6	-	30	-	20	-	-
9	7	5	60	-	-	-	20	10
10	6	5	-	40	-	-	20	-
11	6	6	-	20	-	20	10	-
12	5	4	-	-	20	10	10	-
13	8	6	50	-	-	-	10	10
14	8	6	-	-	20	20	10	-
15	5	5	60	-	20	-	-	10
16	8	8	-	40	-	20	20	-
17	8	6	60	-	20	-	20	-
18	6	6	50	-	20	10	-	-
19	6	4	-	30	-	20	20	-
20	6	5	80	-	-	-	20	20
21	5	8	40	-	-	20	-	-
22	7	4	-	20	-	-	10	10
23	6	6	60	40	-	10	-	-
24	8	5	40	-	-	20	10	-
25	5	8	40	-	-	-	-	20
26	6	4	-	-	30	20	-	-
27	7	6	60	-	-	10	10	-
28	8	5	50	-	-	-	10	10

определимой путем освобождения ее от «лишних» связей. «Лишние» связи при этом заменяются реакциями (силовыми факторами), которые определяют из канонических уравнений метода сил. Эти уравнения составляются в количестве, равном числу реакций отброшенных связей (степени статической неопределимости системы), и имеют вид:

где п — степень статической неопределимости системы;

_iк — перемещение в направлении Х_i силового фактора, вызванное единичной силой, приложенной в направлении Х_к силового фактора;

_ip— перемещение в направлении Xi силового фактора, вызванное всеми внешними нагрузками.

Коэффициенты канонических уравнений _iк и _ip (если система состоит из прямолинейных участков) можно определить путем интегрирования интеграла Мора по формуле Симпсона

где п — число участков;

- длина участка;

E - модуль упругости первого рода;

- осевой момент инерции поперечного сечения стержня;

- произведения изгибающих моментов от внешних нагрузок и единичных сил в начале, середине и конце каждого участка.

При определении коэффициентов следует иметь в виду, что на основании коммутативности _iк = _кi.

Пример 1. Дано: . (рис. 21 а). Построить эпюру изгибающих моментов

Заданная рама два раза статически неопределима, т.к. ее опоры имеют пять реакций, а число независимых уравнений статики для плоской системы три.

Решение. Отбрасываем «лишние» связи и приводим систему к основной статически определимой. В данном случае для удобства построения эпюр изгибающих моментов выгодно отбросить правую опору (рис. 21 б). Заменяем отброшенные связи реакциями, приводим систему к эквивалентной заданной статически неопределимой (рис. 21 в). записываем канонические уравнения метода сил:

Для определения изгибающих моментов, необходимых при определении коэффициентов канонических уравнений, строим их эпюры от внешних нагрузок (грузовую эпюру, рис. 21 г) и от единичных сил, приложенных в направлении реакций отброшенных связей (рис. 21 д, е). На каждом из участков эпюры фиксируем значения изгибающего момента в начале, середине и конце участка.

Определяем коэффициенты канонических уравнений, используя формулу Симпсона (2.2)

Рисунок. 21

- перемещение в направлении X₁, вызванное единичной силой, приложенной в этом же направлении. Для определения этого коэффициента значения изгибающих моментов М_И подставляем в формулу Симпсона с эпюры, представленной на рис. 21, д:

- перемещение в направлении X₁, вызванное единичной силой, приложенной в направлении X₂. Подставляем в формулу Симпсона значения М_И с эпюр рис. 21 д, е:

При определении подставляем в формулу Симпсона значения М_И с эпюр рис. 21, е:

и - перемещения в направлении X₁ и X₂, вызванные всеми внешними нагрузками; определяются постановкой в формулу Симпсона значений М_И с грузовой эпюры (рис. 21 г) и эпюр соответственно рис. 21 д,е:

Подставляем вычисленные коэффициенты в уравнения и решаем их:

После преобразований:

В результате решения этой системы уравнений получаем

Строим окончательную эпюру изгибающих моментов для заданной статически неопределимой рамы, используя полученные значения X₁ и X₂. это удобно сделать путем алгебраического сложения значений изгибающих моментов с грузовой эпюры (рис. 21, г) и с эпюр от X₁ и X_2, которые легко построить, умножив значения на эпюрах от единичных сил (рис. 21 д, е) соответственно на X₁ и X₂ (рис. 21 ж, з). При построении окончательной эпюры необходимо та, где это можно, произвести исследование на экстремум изгибающего момента. В данном случае экстремум возможен на вертикальном участке (см. рис. 21 в).

0 х3м

На этом участке есть экстремум:

При

Окончательная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 21 и.

Перемещения в направлении реакций отброшенных связей X₁ и X₂ должны быть равны нулю и это можно использовать для проверки правильности решения. Определим перемещение в направлении X₁, подставив для этого в формулу Симпсона значение единичной эпюры (рис. 21 д) и окончательной эпюры (рис. 21 и)

Пример 2 Дано: . (рис. 22а) Построить эпюру изгибающих моментов

Эта рама также два раза статически неопределима.

Решение. Ход решения задачи здесь тот же, что и в предыдущем примере. Для построения грузовой эпюры (рис. 22 г) необходимо из уравнений статики определить реакцию R_B (рис. 22б). В качестве уравнения статики здесь удобно взять . При построении эпюры от единичной силы в направлении X₁ (рис. 22 д) необходимо определить реакцию R_AX из уравнения и реакцию R_B из уравнения .

Коэффициенты канонических уравнений:

Рисунок 22

После подстановки коэффициентов в канонические уравнения и решения последних получаем: .

Для построения окончательной эпюры необходимо заново определить реакцию R_B, учитывая в уравнении статики реакции отброшенных связей X₁ иX₂. (Рис. 22в)

Отсюда .

Определим экстремальные значения изгибающих моментов (рис. 22 в):

0 х₁ 2м

При

0 х₂ 2м

При

Окончательная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 21 и.