Методика выполнения второй части задания №1

При выполнении второй части задания №1 осваивается способ определения положения главных центральных осей инерции и вычисления величин главных центральных моментов инерции для сложных составных сечений. Знание положения главных центральных осей инерции необходимо для определения по методу сечений внутренних силовых факторов в поперечных сечениях элементов конструкций, а величины главных моментов инерции используют при оценке прочности и жесткости. Положение центра тяжести сечения С (рис. 17) в системе осей ХУ определяют по координатам его х_с и у_с из выражений.

Рисунок 17

1.7

1.8

где и - статические моменты площади сечения; - площадь сечения.

При выполнении задания необходимо изучить и использовать формулы изменения осевых и центробежного моментов инерции при параллельном переносе и повороте осей координат.

Если за исходные взять центральные оси Хс и Ус, для которых известны осевые моменты инерции и центробежный мо­мент инерции то для параллельных осей X₁, У₁ эти геометри­ческие характеристики будут иметь вид:

1.9

1.10

1.11

Для осей U, V перевернутых на угол :

1.12

1.13

1.14

Под некоторым углом ₀ находятся главные оси Uo, Vo, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстре­мальные значение, а центробежный момент инерции равен нулю. Этот угол определяют из выражения

1.15

а величины главных центральных моментов инерции

1.16

У симметричных сечении главные оси совпадают с осями симметрии.

Для составного сечения все геометрические характеристики определяют суммированием геометрических характеристик отдельных фигур, входящих в сечение. Для прокатных стандартных профилей (уголок, швеллер, двутавр) эти характеристики берут из таблиц ГОСТов; для простых нестандартных сечений (прямоугольник, круг и т. п.) их определяют по формулам, вы­веденным в курсе сопротивления материалов. Для прямоугольного сечения относительно главных центральных осей его (осей симметрии) осевые моменты инерции

1.17

1.18

где b и h – стороны прямоугольника, соответственно параллельные осям X и Y.

Для контроля правильности выполнения задания необходимо учитывать то, что при повороте взаимно перпендикулярных осей вокруг начала координат сумма осевых моментов инерции остается постоянной. При этом относительно главных осей осевые моменты инерции экстремальны, т. е. относительно - одной из них имеют самое максимальное значение, относительно другой — самое минимальное.

Пример. Для сечения состоящего из прямоугольника со сторонами b=20 мм и h=180 мм, швеллера №22а и равнобокого уголка 70 70 8, определить положение главных центральных осей инерции и вычислить главные центральные моменты инерции (рис. 18)

Рисунок 18

При вычислении все размеры берем в сантиметрах.

Определение положения центра тяжести сечения. Используя выражения (1.7) и (1.8), определяем координаты центра тяжести сечения в системе координат X и Y.

; из таблиц ГОСТов F₂=28,8 см², F₃=10,7 см².

; ;

,

Определение осевых и центробежного моментов инерции относительно центральных осей X_C и Y_C.

Используем формулы изменения геометрических характеристик при параллельном переносе осей координат (1.9) … (1.11), беря за исходные центральные оси каждой фигуры.

;

;

;

Для прямоугольника согласно выражениям (1.17) и (1.18):

,

, т.к. оси X₁ и Y₁ для прямоугольника главные (оси симметрии)

Для швеллера из таблиц ГОСТ: ,

, т.к. оси X₂ и Y₂ для швеллера главные.

Для уголка из таблиц ГОСТ:

Т.к. оси X₂ и Y₂ не являются главными для уголка, то определим центробежный момент инерции , используя выражении (1.14) и беря за исходные главные оси уголка U₁ и V₁. Учитывая, что

Из таблиц ГОСТ: ; ; , т.к. этот угол отложен по часовой стрелке.

Вычисляем:

; ;

Определение положения главных центральных осей инерции и вычисление главных центральных моментов инерции.

По выражению (1.15)

что соответствует ,

Угол положителен, откладываем его от оси X_C против часовой стрелки и проводим главные оси U₀ и V₀. т.к. главная ось U₀ находится ближе к оси Х_С, относительно которой осевой момент инерции , то относительно оси U₀ осевой момент инерции будет принимать минимальное значение и в выражении (1.16) вместо пишем:

;

Проверка: