Методика выполнения первой части задания № 1

При выполнении первой части задания №1 закрепляются навыки в построении эпюр (графиков) внутренних силовых факторов: перерезывающих и нормальных сил, изгибающего момента для балок и простейших плоских рам, а также в опреде­лении размеров поперечных сечений из условий прочности при изгибе.

Для балок эпюры строят под схемой каждой балки путем отложения в определенном масштабе в направлении оси ординат числовых значений перерезывающей силы Q и изгибающего момента М_И, возникающих в поперечных сечениях балки. Осью абсцисс при этом служит линия, параллельная оси балки.

Так как системы, для которых строятся эпюры, плоские, то ве­личина перерезывающей силы в каком-либо поперечном сечении балки равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил справа или слева от сечения на след плоскости этого сечения n-n (рис. 11), то есть на перпендикуляр к оси балки. Изгибающий момент при этом равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок справа или слева от сечения относительно точки пересечения плоскости сечения с осью балки.

Согласно правилу знаков перерезывающая сила считается поло­жительной, если внешняя нагрузка слева от сечения направлена вверх или справа от сечения вниз. Изгибающий момент считается положительным, если под действием его балка изгибается вогну­тостью вверх. Со стороны вогнутости продольные слои (волокна) балки находятся в сжатом состоянии, поэтому изгибающий момент откладывается со стороны сжатых волокон балки.

Q>0 Q<0

М_и>0 М_и<0

Рисунок 11

Перед построением эпюр там, где это необходимо, нужно определить из уравнений статики реакции опор, а балку разбить на участки, границами которых являются точки приложения внешних нагрузок.

При построении эпюр имейте в виду следующее.

Из правила определения Q следует, что в сечении балки, в котором приложена внешняя сосредоточенная сила, на эпюре перерезывающей силы должен быть скачок на величину этой силы.

Из правила определения Ми следует, что в сечении балки, в котором приложен внешний сосредоточенный момент (пара сил), на эпюре изгибающих моментов должен быть скачок на вели­чину этого момента.

Из дифференциальной зависимости между внутренними силовыми факторами при изгибе

1.1

где q — интенсивность внешней распределенной нагрузки,

1.2

следует, что согласно свойству производных, положительная перерезывающая сила будет соответствовать возрастающему (алгебраически) изгибающему моменту, а отрицательная — убывающему, в том же месте, где Q равна нулю, М_И имеет экстремальное значение. Так как производная функции пропорциональна танген­су угла наклона к ее кривой, то, связывая изменения величин Q и угла наклона к кривой М_И, можно контролировать правиль­ность построения эпюр. В сечении балки, где Q имеет скачок, эпюра М_И претерпевает излом.

Пример 1. Дано: (рис. 12). Построить эпюры Q и М_И.

Рисунок 12

Решение. Определим реакции опор R_A и R_B из условий статики. В качестве уравнений статики возьмем суммы моментов относительно точек А и В.

Проверим правильность определения реакций, спроектировав все силы на вертикальную ось У.

Разобьем балку на четыре участка.

Для упрощения выражений, определяющих Q и М_И к сечениям на I и II участках будем подходить слева, а на III и IV участках - справа, используя правило знаков (см. рис. 11).

I участок (слева): 0≤х₁≤2 м.

Уравнение перерезывающей силы:

Это уравнение прямой линии, и для построения эпюры достаточно двух точек.

При ; при м .

По полученным данным строим эпюру Q на I участке.

Уравнение изгибающего момента (уравнение параболы):

При ; при м .

Т.к. Q на I участке не проходит через ноль и положительна, а q отрицательна (направлена вниз), то, согласно дифференциальным зависимостям (1.1) и (1.2), изгибающий момент будет плавно возрастать по кривой линии, выпуклость которой направлена вверх. На основании этого и строим эпюру М_И на I участке.

II участок (слева): 2м≤х₂≤3м.

При ; при

Строим эпюру Q.

При ;

при х₂ ;

На этом участке Q переходит через ноль и М_И будет иметь экстремальное значение. Определим экстремум М_И. Согласно выражению (1.2)

откуда

.

При .

По этим данным строим эпюру М_И на II участке. При подходе к сечению справа, начнем построение эпюр с IV участка.

IV участок (справа): 0≤х₄≤1м

;

Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И.

III участок (справа): 1м≤х₃≤2м

Строим эпюру Q.

При при

Строим эпюру М_И.

В сечениях А, В и Д приложены сосредоточенные силы, и на эпюрах перерезывающих сил есть скачки на величины этих сил.

В сечении С приложен сосредоточенный момент, и на эпюре изгибающих моментов есть скачок на его величину. В сечении Д -эпюра М_И имеет перелом, так как на эпюре Q в этом есть скачок.

Пример 2. Дано: (рис. 13). Построить эпюры Q и М_И.

Рисунок 13

Для этой балки при построении эпюр можно не определять реакции в заделке, если строить эпюры, подходя к сечению справа.

I участок (справа): 0≤х₁≤1м.

Строим эпюру М_И.

II участок (справа): 1м≤х₂≤4м

При ; при

Строим эпюру Q.

При ; при .

Согласно дифференциальным зависимостям (1.1) и (1.2), экстремум М_И будет при , а эпюра его будет направлена выпуклостью вниз. В соответствии с этим строим эпюру М_И.

III участок (справа): 4м≤х₃≤5м

При ; при .

Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И.

IV участок (справа): 5м≤х₄≤7м

Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И.

В сечении, где приложена сосредоточенная сила Р, перерезы­вающая сила делает скачок, а на эпюре изгибающих моментов есть перелом.

Под рамами понимают системы, состоящие из стержней, сое­диненных жесткими узлами. Ось рамы представляет собой лома­ную линию, на которой и строят эпюры путем отложения в опре­деленном масштабе значений внутренних силовых факторов пер­пендикулярно этой линии. В плоских рамах, кроме перерезываю­щей силы и изгибающего момента, возникает нормальная сила N, для которой также строят эпюры.

Q и М_и в поперечных сечениях стержней определяют по тем же правилам, что и в балках, только при определении их к сече­нию подходят, обходя контур рамы по часовой или против часовой стрелки. При обходе контура по часовой стрелке Q откладывают в направлении внешней нагрузки, при обходе -контура про­тив часовой стрелки — в направлении, противоположном направлению внешней нагрузки. Изгибающий момент откладывают со стороны сжатых волокон стержней рамы. При составлении урав­нений Q и Ми с положительным знаком удобно брать их значения, которые будут откладываться с наружной стороны контура рамы.

Нормальную силу N в каком-либо сечении стержня опреде­ляют проектированием всех внешних нагрузок на ось рамы, подхо­дя к этому сечению по часовой или против часовой стрелки. С положительным знаком нужно брать N, вызывающую растя­жение.

При контроле правильности построения эпюр в рамах нужно руководствоваться теми же соображениями, что и для балок. В угловых сечениях для сходящихся стержней изгибающие моменты должны быть между собой равны. Если же в таком сечении приложен сосредоточенный момент, то на эпюрах Ми должен быть скачок на величину этого момента.

+Пример 3. Дано: (рис. 14). Построить эпюры Q и М_И и N.

Рисунок 14

Решение. Определим реакции опор R_A, R_B и R_BY из уравнения статики:

;

.

; .

;

Разбиваем раму на четыре участка.

I участок (по часовой стрелке): 0≤х₁≤1м

(знак минус, т.к. эта сила сжимающая).

Строим эпюру N.

II участок (по часовой стрелке): 1м≤х₂≤4м

Сила Р создает Q, которая должна быть отложена в направлении ее, т.е. с наружной стороны контура рамы. М_И от Р выгибает стержень сжатыми волокнами наружу. Согласно правилу знаков М_И от этой силы надо взять со знаком плюс.

Строим эпюру Q, откладывая ее значение в направлении P, т.е. с наружной стороны контура рамы.

При ; при .

Строим эпюру М_И, откладывая его значение со стороны сжатых волокон, т.е. с наружной стороны контура.

Строим эпюру N.

III участок (по часовой стрелке): 0≤х₃≤4м

.

При ; при .

Строим эпюру Q, откладывая положительные значения с наружной стороны контура, а отрицательные – с внутренней.

При ; при .

Т.к. на этом участке Q есть значение Q=0, то М_И будет иметь экстремальное значение:

.

При .

Строим эпюру М_И, откладывая положительные значения с наружной стороны контура, а отрицательные – с внутренней.

Строим эпюру N.

IV участок (против часовой стрелке): 0≤х₄≤2м

.

Строим эпюру Q.

.

При х₄=0 ; при .

Строим эпюру М_И.

Строим эпюру N. В правом угловом сечении, где приложен момент М, на эпюре изгибающих моментов есть скачок на его величину. В левом угловом сечении для вертикального и горизонтального стержней изгибающие моменты равны.

Пример 4. Дано: (рис. 15)

Рисунок. 15

Построить эпюры Q и М_И и N. В данном случае реакции в заделке можно не определять, если определять внутренние силовые факторы, обходя контур против часовой стрелки.

I участок (против часовой стрелке): 0≤х₁≤2м

. Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И.

II участок (против часовой стрелке): 0≤х₂≤3м

.

При ; при . Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И, учитывая, что при будет экстремальное значение.

Строим эпюру N.

III участок (против часовой стрелке): 0≤х₃≤2м

Строим эпюру Q.

Сила Р во всех сечениях верхнего горизонтального стержня будет создавать постоянный момент Р 2 и переменный момент от усилия передаваемого через вертикальный стержень. С учетом этого .

При ; при .

Строим эпюру М_И.

Строим эпюру N.

IV участок (против часовой стрелке): 2м≤х₃≤3м

Строим эпюру Q.

При ; при .

Строим эпюру М_И.

Строим эпюру N.

Размеры поперечных сечений балки или стержней рамы определяют по осевому моменту сопротивления из условия прочности при изгибе:

где - максимальное по абсолютной величине значение изгибающего момента; берется с эпюры изгибающих моментов.

Если требуется подобрать стандартное сечение (швеллер, двутавр), то по вычисленному W_OC выбирают из таблиц ГОСТов номер профиля, у которого значение W_OC наиболее близко к вычисленному (ближайшее большее значение).

Если сечение имеет вид круга, прямоугольника, квадрата, то по формулам W_OC для этих сечений определяют их размеры. Для круглого кольцевого поперечного сечения

где и - внутренний и наружный диаметры кольца.

Для круглого сплошного сечения

где - диаметр круга.

Для прямоугольного сечения

где b и h – стороны прямоугольника.

Перед вычислением W_OC момент удобно выразить в кН см, а допускаемое напряжение - в кН/см², чтобы W_OC получился как в таблицах ГОСТа (см³).

Определим, например, для деревянной балки (см. рис. 12) диаметр круглого поперечного сечения, если . На эпюре изгибающих моментов

Из выражений (1.3) и (1.5)

.

Подберем для стальной рамы (см. рис. 15) номер двутавра, если . На эпюре изгибающих моментов

.

В таблице ГОСТ ближайший больший W_OC=289 см³ у двутавра № 24, который и выбираем для данной рамы.

При сравнении металлоемкости сопоставляют площади поперечных сечений. Если, например, сравниваются балки двутаврового сечения площадью F_Д, значение которой берут из таблицы ГОСТ, и прямоугольного сечения площадью F_П, вычисляемой по формуле F_П=b h, то расход материала при использовании прямоугольного сечения увеличивается по сравнению с двутавром в F_П/F_Д раз.