§ 11.7 Замена переменных в кратных интегралах.

Рассмотрим интеграл (1), .

Поставим следующую задачу:

Осуществить замену переменных, представить интеграл (1) в виде кратного интеграла по области , соответствующим образом изменив подынтегральную функцию.

Th.1 Пусть , - регулярное. . Тогда:

(2)

(Б/Д).

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть для двойных интегралов (n=2) отображение задано:

, (3) из предыдущего §

а для тройных интегралов (n=3):

, (4) из предыдущего §

и выполнены условия теоремы.

Имеем:

(3)

(4)

Формулы (3) и (4) дают правило замены переменных в двойных и тройных интегралах. Это правило заключается в следующем:

1. Необходимо сделать замену переменных в подынтегральной функции.

2. Кроме этого нужно заменить элемент площади (или элемент объема ) его выражением в криволинейной системе координат:

(или ).

Перейдем к примерам наиболее часто применяемых криволинейных координат и примерам вычисления кратных интегралов с использование замены переменных.

1. Полярные координаты.

Рассмотрим отображение пространства по формулам:

(5)

и вычислим Якобиан этого отображения.

●

.

Очевидно, это отображение удовлетворяет условиям регулярности во всей полуполосе.

за исключением отрезка .

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Можно показать, что теорема, а соответственно и формулы (2), (3), (4) остаются в силе, если условие регулярности нарушается на множестве , что .

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Полярные координаты удобно как правило применять в том случае, когда граница области состоит из кусков координатных линий.

а)

(6а)

(6 б)

ПРИМЕР 1.

Вычислить . - ограничена контуром

Решение:

Найдем уравнения граничных линий в полярных координатах:

1

1

.

.

.

.