10.2 Отклик нелинейной цепи на гармонический сигнал.

Проанализируем физические процессы, протекающие в нелинейной цепи (рис.10.2а), при воздействии на вход безынерционного нелинейного элемента z гармонического сигнала и постоянного напряжения . Используя вольтамперную характеристику нелинейного элемента. Проведя несложные гармонические построения, найдем аналитическую запись формы тока в радиоэлектронной цепи в зависимости от фазового угла ν =ωt (рис.10.2б, в).

а) б) в)

Рис10.2

Вследствие нелинейности характеристики форма тока на выходе становится несинусоидальной. Причину этого искажения гармонического колебания нетрудно объяснить следующим образом. Так как ток и напряжение связаны линейной зависимостью Δi=SΔu, а крутизна ВАХ на разных участках неодинаковая (имеет нелинейный характер), то равным приращениям напряжения отвечают неравные приращения тока. Поскольку функция тока обладает периодичностью (рис.10.2в), то ее можно разложить в ряд Фурье:

(10.5)

Найдем спектр тока с нелинейным элементом при степенной аппроксимации его характеристики. Пусть суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала

(10.6)

Приложено к нелинейному элементу, вольтамперная характеристика которого в окрестности рабочей точки аппроксимирована полиномом Тейлора вида:

(10.7)

Подставив формулу (10.6) в выражение (10.7), получим

Используя известные формулы разложения степеней косинусов:

и т.д.

Запишем общее выражение для тока нелинейной цепи, сгруппировав отдельно постоянные составляющие и все члены с косинусами одинаковых аргументов:

Представленное выше выражение в более компактной форме примет вид

(10.8)

Здесь постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока:

(10.9)

Анализ состава формул (10.9) показывает, что при степенной аппроксимации характеристики гармонический состав тока в цепи с нелинейным элементом существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются четными, а амплитуды нечетных гармоник – нечетными коэффициентами степенного полинома.

Найдем спектр тока в цепи с нелинейным элементом при кусочно-линейной аппроксимации. Пусть суммарное гармоническое и постоянное напряжение вида 10.6 подается на вход электрической цепи с НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной линией и описывается формулой (10.4). В этом случае временная диаграмма тока, протекающего через НЭ, имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой их нижней части (рис.10.3).

Параметр θ (в радианах или градусах), при котором ток изменяется от максимального значения I_m до нуля, называется углом отсечки. Изменение фазы, соответствующее длительности полного импульса тока на выходе цепи, равно 2θ. Из графиков рис.10.3 нетрудно определить, что при фазовом угле ωt=0 напряжение начала характеристики откуда (10.10)

Подставив в формулу (10.4) суммарное напряжение и напряжение источников сигнала и смещения из выражения (10.5) и напряжение начала характеристики Е_н, получим аналитическую запись формы тока в зависимости от фазового угла:

(10.11)

Полученную четную функцию периодической последовательности импульсов (10.11) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье, в котором период повторения составляет 2π, длительность импульса - 2θ, а текущей переменной является мгновенный фазовый угол ν=ωt.

Рис. 10.3

В этих импульсах тока постоянная составляющая запишется следующим образом:

(10.12)

Амплитуда первой гармоники

(10.13)

Подобным же образом определяются амплитуды гармонических составляющих I_n и для n=2,3,… При этом обобщенная формула для вычисления этих гармоник будет:

(10.14)

В радиотехнике полученные результаты принято записывать в специальной форме:

…. (10.15)

Здесь - так называемые функции Берга, или коэффициенты гармоник, отражающие величины присутствующих гармоник в спектре преобразованного тока, которые аналитически выглядят следующим образом:

(10.15а)

Коэффициенты гармоник часто используются в инженерных расчетах, например, при проектировании нелинейных усилителях мощности, умножителей частоты и автогенераторов.