V. Доверительные интервалы
Пример 4. Случайная
величина распределена по нормальному
закону с параметром
.
Сделана выборка
.
Найдем с надежностью
доверительный интервал для неизвестного
параметра
этого распределения.
Из равенства
или
по таблице
.
Тогда точность оценки есть
.
Тогда
.
Если для сделанной
выборки
,
то с надежностью 0,95 интервал (1,5; 3,1)
покрывает параметр
с точностью до 0,8 и надежностью 95 %.
Пример 5. Вычислить
с надежностью 0,96 доверительный интервал
для
нормальное распределение по выборке
.
Решение.
Предварительно
рассмотрим таблицу 3 в приложении, с
помощью которой решается поставленная
задача. Для определения
используем входные данные
и для
-
.
По условию задачи =17
и α=0,98, тогда
=7,26,
а для определения
имеем =19 и α=0,02,
тогда
=33,7.
Следовательно,
искомый доверительный интервал будет
Аудиторные задания
1.Построить вариационный и статистический ряды по заданной выборке:
11,15,20,0,16,19,6,11,12,13,16,8,9,14,5,11,3;
2. В условии задачи 1 составить таблицу частот.
3. Время решения контрольной задачи учениками четвертого класса в секундах:
38 |
60 |
41 |
51 |
33 |
42 |
45 |
21 |
53 |
60 |
68 |
52 |
47 |
46 |
49 |
49 |
14 |
57 |
54 |
59 |
77 |
47 |
28 |
48 |
58 |
32 |
42 |
58 |
61 |
30 |
61 |
35 |
47 |
72 |
41 |
45 |
44 |
55 |
30 |
40 |
67 |
65 |
39 |
48 |
43 |
60 |
54 |
42 |
59 |
50 |
Первый интервал: 14 – 23. Построить таблицу частот.
4. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
а)
-
2
5
7
8
1
3
2
4
5. Построить полигон частот по данному распределению выборки:
-
15
20
25
30
10
10
15
30
20
25
6. Изменение емкости затвор-сток у 80 полевых транзисторов дали следующие результаты:
1,9 |
3,1 |
1,3 |
0,7 |
3,2 |
1,1 |
2,9 |
2,7 |
2,7 |
4,0 |
1,7 |
3,8 |
0,9 |
0,8 |
3,1 |
1,2 |
2,6 |
1,9 |
2,3 |
3,2 |
4,1 |
1,3 |
2,4 |
4,5 |
2,5 |
0,9 |
1,4 |
1,6 |
2,2 |
3,1 |
1,5 |
1,1 |
2,3 |
4,3 |
2,1 |
0,7 |
1,2 |
1,5 |
1,8 |
2,9 |
0,8 |
0,9 |
1,7 |
4,1 |
4,3 |
2,6 |
0,9 |
0,8 |
1,2 |
2,1 |
3,2 |
2,9 |
1,1 |
3,2 |
4,5 |
2,1 |
3,1 |
5,1 |
1,1 |
1,9 |
0,9 |
3,1 |
0,9 |
3,1 |
3,3 |
2,8 |
2,5 |
4,0 |
4,3 |
1,1 |
2,1 |
3,8 |
4,6 |
3,8 |
2,3 |
3,9 |
2,4 |
4,1 |
4,2 |
0,9 |
Построить гистограмму частот по этой выборке, предварительно составив соответствующую таблицу группировки. В качестве длины интервала взять следующие значения:
а) h=0,3; б) h=0,6; в) h=1,2.
7.Случайная
величина ξ имеет нормальное распределение
с неизвестными математическим ожиданием
а и дисперсией σ. По выборке объема n=26
вычислены
Найти доверительный интервал для
математического ожидания а, отвечающий
доверительной вероятности .