Практическое занятие 14-2часа Случайные величины и их числовые характеристики. Дискретные и непрерывные случайные величины. Числовые характеристики. Закон больших чисел. Вопросы:

1. Дайте определение случайной величины. Приведите примеры.

2. Дайте определение функции распределения случайной величины и докажите ее свойства.

3. Дайте определение плотности распределения вероятностей и докажите ее свойства.

4. Дайте описание дискретных и непрерывных распределений: биномиального, пуассоновского, геометрического, гипергеометрического, нормального, показательного, равномерного.

5. Как найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если она распределена по нормальному или показательному закону?

6. Дайте определение многомерной функции распределения случайного вектора и рассмотрите совместные распределения двух случайных величин.

7. Как найти вероятность попадания пары случайных величин в заданный прямоугольник?

8. Сформулируйте теорему о независимых случайных величинах. Что представляет собой распределение суммы независимых случайных величин?

9. Дайте определение математического ожидания случайной величины и докажите его свойства.

10. Дайте определение дисперсии случайной величины и докажите ее свойства.

11. Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины и укажите его преимущества по сравнению с дисперсией.

12. Сформулируйте теорему Чебышева.

13. Дайте определение характеристическим функциям случайной величины и сформулируйте их свойства.

14. Сформулируйте центральную предельную теорему и теорему Ляпунова.

1. Основные определения.

Определение. Случайной называется величина, которая в результате наблюдений может принимать то или иное значение, причем неизвестно какое именно.

Будем обозначать случайные величины и т.д., а возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z и т.д., например: случайная величина имеет три возможных значения х₁, х₂, х_3.

Функция , действительной переменой x, , определяемая формулой

,

называется функцией распределения случайной величины X. Функция распределения обладает следующими свойствами:

Определение. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями, причем число таких значений может быть как конечным так и бесконечным.

Примеры дискретных распределений.

1. Биноминальное распределение

2. Распределение Пуассона

3. Геометрическое распределение

4. Гипергеометрическое распределение

Определение. Случайная величина X называется непрерывной ,если существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция , называемая плотностью распределения вероятностей, что при всех

Свойства плотности распределения:

1. следует из монотонности F(x)

2. следует из того, что

Отсюда вытекает, что

Геометрически эта вероятность равна площади криволинейной трапеции: