Практическое занятие 13-2часа

1.Алгебра событий. Теорема сложения вероятностей.

Теорема умножения вероятностей

Вопросы

1.Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

2.Теорема умножения вероятностей независимых событий.

3.Условная вероятность.

4.Умножение зависимых событий.

5.Сложение совместных событий.

6.Противоположные события.

Пример 1. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при первом выстреле - , при втором - , при третьем - . Найти вероятность хотя бы одного попадания.

Решение. Пусть - попадание при первом выстреле, - при втором, - при третьем, - хотя бы одно попадании при трех встрелах. Тогда , где - совместные независимые в совокупности. Тогда

Пример 2. Определим, чему равна вероятность извлечения либо карты масти «трефы», либо карты масти «бубны».

Решение.Обозначив С «извлечение карты бубновой масти», получим

P(B + С) = P(B C) = P(B) + Р(C) = 13/52 + 13/52 = 26/52 = 1/2.

Мы не должны вычитать вероятность пересечения этих событий, поскольку нет карт, имеющих масти «трефы» и «бубны» одновременно.

Пример4. В ящике имеются n деталей, из которых m стандартных. Найти вероятность того, что среди k наудачу извлеченных деталей есть хобя бы одна стандартная.

Решение. События А- среди извлеченных деталей есть хотя бы одна стандартная, Ā – среди извлеченных деталей нет ни одной стандартной. Эти события противоположные. Очевидно, Р(А)=1- Р(Ā).

Вероятность Р(Ā) вычисляется по классической формуле Р=М/N, где

Искомая вероятность Р(А)=1-

Пример 5. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если шар возвращается в урну.

Решение. По условию задачи события - независимые в совокупности и

.

Пример 6. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Какова вероятность того, что при первом испытании появится белый шар , при втором – черный шар , при третьем – синий шар , если каждый раз шар не возвращается в урну.

Решение. По условию задачи - в урне после первого испытания шаров из них 4 белых. . Отсюда

.

Аудиторное задание

1. Три стрелка стреляют в мешени. Вероятность попадания в мешень при одном выстреле для первого 0,75 для второго 0,8 и для третьего 0,9. Найти вероятность попадания всех стрелков.

2. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 4 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна окрашенная деталь

3. Какое событие является противоположным для события – выпадения двух гербов при бросании двух монет?

Домашнее задание

1. Три стрелка стреляют в мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка 0,75 для второго 0,8 и для третьего 0,2. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень.

2. Три стрелка стреляют в мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого 0,75; для второго 0,8 и для третьего 0,9. Найти вероятность попадания любых двух стрелков.

3. Событие образуют полную группу, причем . Определить вероятность .

4. Из урны, содержащей 10 белых и 4 черных шар последовательно без возращения выбирают наугад 3 шара. С помощью теоремы умножения найти вероятность появления последовательности: черный, белый, черный шар.

2.Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Повторение независимых испытаний.

Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона.

Вопросы

1. Формула полной вероятности.

2. Формула Бейеса.

3. Биноминальный, полиномиальный закон распределения .

4. Локальная теорема Лапласа .

5. Интегральная теорема Лапласа, с таблицы .

6. Свойства , теорема Пуассона.

7. Формула Пуассона .

I. Формула полной вероятности:

.

Пример 1. В цехе типа станков с одинаковой производительностью изготавливают один и те же детали. Станки первого типа производят 0,94 деталей стандартного качества, 2-го типа-0,9, 3-го типа –0,85, которые в нерассортированном виде лежат на складе. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартного качества, если станков 1-го типа 5,2-го, 3-го –2.

Решение. Пусть - наудачу взятая деталь стандартного качества. Тогда гипотезы: - деталь произведена станком 1-го типа, - 2-го типа, - 3-го типа. Так как производительность станков одинакова, то . Если деталь произведена станком 1-го типа, то . Аналогично

Пример 2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0,75, в случае успешного развития экономики страны, и эта же вероятность составит 0,30, если произойдет спад экономики. По его мнению, вероятность экономического подъема в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.

Решение. Событие А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году». Составим рабочую таблицу:

Hi	Гипотезы Hi	Р(Hi)	P(А/Hi)	Р(Hi)P(А/Hi)
1	H1 – «подъем экономики»	0,80	0,75	0,60
2	H2 – «спад экономики»	0,20	0,30	0,06
∑		1,00	–	P(А) = 0,66

Пример 3. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложен один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение. Событие А – «шар, извлеченный из урны 2, – черный». Составим рабочую таблицу:

Hi	Гипотезы Hi	Р(Hi)	P(А/Hi)	Р(Hi)P(А/Hi)
1	H1 – «из урны 1 в урну 2 переложили черный шар»	6/10	7/11	42/110
2	H2 – «из урны 1 в урну 2 переложили белый шар»	4/10	6/11	24/110
∑		1,00	–	Р(А) = 0,60