9. Последовательность независимых испытаний Бернулли. Формула Бернулли для числа «успехов».

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 6

+

Предположим, что производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может наступить или не наступить некоторое событие A. Пусть при каждом испытании вероятность наступления события А равна P(A)=p и, следовательно, вероятность противоположного события (ненаступления А) равна . Определим вероятность P_n(m) того, что событие А произойдет m раз при n испытаниях. При этом заметим, что наступления или ненаступления события А могут чередоваться различным образом. Условимся записывать возможные результаты испытаний в виде комбинаций букв А и . Например, запись означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.

Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и входит n-m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать m чисел из данных n; таким образом, оно равно числу сочетаний из n элементов по m, т.е.

Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим сначала случай, когда событие A происходит в первых m испытаниях и, следовательно, не происходит в остальных n-m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:

Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет

Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовместными. Поэтому (на основании аксиомы сложения вероятностей)

Следовательно,

или, так как , то

- формулой Бернулли.

10. Понятие о дискретной случайной величине. Закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и их свойства.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 7-9

+

См. лекция 5 по Теория вероятности (Борисов).

См. лекция 6 Теория вероятности (Борисов). (ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О МАТЕМАТИЧЕСКОМ ОЖИДАНИИ И ДИСПЕРСИИ.)

11. Важнейшие виды распределений дискретных случайных величин (геометрическое, биномиальное, Пуассона) и их характеристики.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 9-10

+

См. Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 5.pdf

+

Геометрическое распределение.

Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

P(X=m)=pq^m-1, где 0<p<1, q=1-p, m=1, 2, ...

Ряд геометрического распределения имеет вид:

X	1	2	…	k	…
P	p	pq	…	pqm-1	…

Очевидно, что вероятности p_i образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (отсюда и название "геометрическое распределение"). Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда:

Случайная величина X=m, имеющая геометрическое распределение, представляет собой число m испытаний, проведённых по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение с параметром p:

Дисперсия

, где q=1-p.

Пример. Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение. Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

xi 1 2 3 ... m ...

pi 0,6 0,24 0,096 ... 0,6·0,4m ...

По формулам:

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равна

P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,6+0,24+0,096=0,936.

Биномиальное распределение.

БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, распределение Бернулли, - распределение вероятностей случайной величины X, принимающей целочисленные значения х = 0, 1, ..., n с вероятностями соответственно.

(С^x_n - биномиальный коэффициент; р - параметр Б. р., наз. вероятностью положительного исхода, принимающей значения на отрезке 0 ≤ р ≤ 1). Б. р. - одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Пусть Y₁, Y₂,... - последовательность независимых случайных величин, каждая из к-рых может принимать лишь два значения 1 или 0 с вероятностями р и 1 - р соответственно. Величины Y_i можно трактовать как результаты независимых испытаний, причем Y_i = 1 в случае «положительного исхода» и Y_i = 0 в случае «отрицательного исхода» испытания с номером i.

М(Х)=np

D(X)=np(1-p)

Распределение Пуассона.

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

где m=0, 1, 2, ...

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

xi 0 1 2 ... m ...

pi ... ...

При условии закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона. Так как при этом вероятность p события A в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют часто законом редких явлений.

Наряду с "предельным" случаем биномиального распределения закон Пуассона может возникнуть и в ряде других случаев. Так для простейшего потока событий число событий, попадающих на произвольный отрезок времени, есть случайная величина, имеющая пуассоновское распределение. Также по закону Пуассона распределены, например, число рождения четверней, число сбоев на автоматической линии, число отказов сложной системы в "нормальном режиме", число "требований на обслуживание", поступивших в единицу времени в системах массового обслуживания, и др.

12. Понятие о непрерывной случайной величине. Функция распределения, плотность, математическое ожидание, дисперсия и их свойства.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 10-12

+

См. Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 7.pdf

13. Важнейшие виды распределений непрерывных случайных величин (равномерное, показательное, нормальное) и их характеристики.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 10-12

+

Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 7

14. Группировка выборочных данных одномерной выборки, интервальный и дискретный вариационный ряд, гистограмма и полигон относительных частот.

Самаров- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.pdf - стр. 3-6

+

Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 10

Дискретный вариационный ряд

15. Оценки для характеристик случайных величин. Среднее выборочное значение, выборочная дисперсия, среднее выборочное квадратическое отклонение. Несмещенные оценки.

Самаров- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.pdf - стр. 6-9

Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 10

Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 11

16. Ковариация и коэффициент корреляции двух случайных величин. Корреляционная таблица для двумерной выборки.

Ковариа́ция в теории вероятностей — это мера линейной зависимости двух случайных величин.

Корреля́ция (корреляционная зависимость) — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения значений одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению значений другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 14-15 - коэф. ковариации и корреляции

+

Самаров- МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.pdf - стр. 14-17

+

+ Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 6 (общее о коэф. ковариации и корреляции в обозначениях с.в.)

+ Теория вероятности (Борисов). ЛЕКЦИЯ 12 (коэффициент корреляции в статистических данных)

17. Постановка основной задачи линейного программирования. Построение двойственной задачи к задаче линейного программирования. Экономический смысл двойственной задачи.

Самаров- ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.pdf - стр. 3 - Постановка основной задачи линейного программирования

+

См. лекцию 3 (стр. 3-5) МатМетоды в экономике. Лекция 3 – графический метод

См. лекцию 7 (стр. 1-4) МатМетоды в экономике. Лекция 7 – двойственная задача.

18. Симплекс–метод решения основной задачи линейного программирования.

См. лекцию 3 (стр. 5-6) МатМетоды в экономике. Лекция 3

Продолжение: МатМетоды в экономике. Лекция 4

Продолжение: МатМетоды в экономике. Лекция 5

Продолжение: МатМетоды в экономике. Лекция 6

19. Графический метод решения задач линейного программирования в случае двух переменных.

См. лекцию 3 (стр. 3-5) МатМетоды в экономике. Лекция 3 – графический метод

20. Постановка транспортной задачи. Построение первоначального плана перевозок с помощью методов северо-западного угла и наименьшей стоимости.

МатМетоды в экономике. Лекция 7 (конец)– постановка транспортной задачи.

Правильность составленного плана легко проверить:

1. подсчитав суммы чисел, стоящих в заполненных клетках по строкам и столбцам. Должна ровняться запасам/потребностям в закрытой задаче.

2. в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем заполненных и * пустых клеток.

Построение первоначального плана перевозок с помощью методов северо-западного угла.

При этом методе на каждом шаге построения первого опорного плана заполняется левая верхняя клетка (северо-западный угол) оставшейся части таблицы. При таком методе заполнение таблицы начинается с клетки неизвестного и заканчивается в клетке неизвестного , т. е. идет как бы по диагонали таблицы перевозок.

Заполнение таблицы начинается с ее северо-западного угла, т. е. клетки с неизвестным . Первая база может полностью удовлетворить потребность первого заказчика . Полагая , вписываем это значение в клетку и исключаем из рассмотрения первый столбец. На базе остается измененный запас . В оставшейся новой таблице с тремя строками и четырьмя столбцами ; северо-западным углом будет клетка для неизвестного . Первая база с запасом может полностью удовлетворить потребность второго заказчика . Полагаем , вписываем это значение в клетку и исключаем из рассмотрения второй столбец. На базе остается новый остаток (запас) . В оставшейся новой таблице с тремя строками и тремя столбцами северо-западным углом будет клетка для неизвестного . Теперь третий заказчик может принять весь запас с базы . Полагаем , вписываем это значение в клетку и исключаем из рассмотрения первую строку. У заказчика из осталась еще не удовлетворенной потребность .

Теперь переходим к заполнению клетки для неизвестного и т.д.

Через шесть шагов у нас останется одна база с запасом груза (остатком от предыдущего шага) и один пункт с потребностью . Соответственно этому имеется одна свободная клетка, которую и заполняем, положив . План составлен. Базис образован неизвестными .

Правильность составленного плана легко проверить:

1. подсчитав суммы чисел, стоящих в заполненных клетках по строкам и столбцам. Должна ровняться запасам/потребностям в закрытой задаче.

2. в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем заполненных и * пустых клеток.

Общий объем перевозок в тонно-километрах для этого плана составит

.

Для получения оптимального опорного плана необходимо перебрать все возможные варианты и из них выбрать вариант перевозок с наименьшим S*.

Пункты Отправления	Пункты назначения										Запасы
		70		50		15		80		70	300
	170		110		20
		80		90		40		60		85	150
					80		70
		50		10		90		11		25	250
							50		200
Потребности	170		110		100		120		200		700

Метод наименьшей стоимости.

При этом методе на каждом шаге построения опорного плана первою заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф. Если такая клетка не единственная, то заполняется любая из них.

Пример:

Пункты отправления	Пункты назначения										Запасы
		70		50		15		80		70	300
	20				100				180
		80		90		40		60		85	150
	150
		50		10		90		11		25	250
			110				120		20
Потребности	170		110		100		120		200		700

В данном случае заполнение таблицы начинается с клетки для неизвестного , для которого мы имеем значение , наименьше из всех значений . Эта клетка находится на пересечении третьей строки и второго столбца, соответствующим третьей базе и второму заказчику . Третья база может полностью удовлетворить потребность второго заказчика . Полагая , вписываем это значение в клетку и исключаем из рассмотрения второй столбец. На базе остается изменённый запас . В оставшейся новой таблице с тремя строками и четырьмя столбцами клеткой с наименьшим значением клетка, где . Заполняем описанным выше способом эту клетку и аналогично заполняем следующие клетки. В результате оказываются заполненными (в приведенной последовательности) следующие клетки:

.

На пятом шаге клеток с наименьшими значениями оказалось две . Мы заполнили клетку для , положив . Можно было выбрать для заполнения другую клетку, положив , что приведет в результате к другому опорному плану. Общий объем перевозок в тонно-километрах для этого плана составит

Замечание. В диагональном методе не учитываются величины тарифов, в методе же наименьшей стоимости эти величины учитываются, и часто последний метод приводит к плану с меньшими общими затратами (что и имеет место в нашем примере), хотя это и не обязательно.