1. Формулы для производных произведения, частного, сложной функции, функции, заданной параметрически, неявной функции.

Определение производной :

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел:

=

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_o; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или -∞ ), то при условии, что функция в точке х_o непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке х_o бесконечную производную.

Производная обозначается символами:

y ' ; f ' (x_o) ; ;

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке х_o; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент t₀.

Производные функций

Производные суммы, разности, произведения, частного, степени:

Пояснение к - сложная функция.

Если y = f(u), u = j(x), т.е. y = f(j(x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций j и f, то , или .

Производные степенных функций:

Производные показательных функций:

Производные логарифмических функций:

Производные тригонометрических функций:

Производные обратных тригонометрических функций:

Производная функции заданной параметрически:

Пусть задана зависимость двух переменных x и y от параметра t, изменяющегося в пределах от до :

Пусть функция имеет обратную: . Тогда мы можем, взяв композицию функций и , получить зависимость y от x: . Зависимость величины y от величины x, заданная через зависимость каждой из них от параметра t в виде , называется функцией , заданной параметрически.

Производную функции , заданной параметрически, можно выразить через производные функций и : поскольку и, по формуле производной обратной функции, , то

где - значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение .

Производная неявной функции:

Если функция y=y(x) задана неявно уравнением F(x,y)=0 , F(x,y) — дифференцируемая функция и F 'y( x, y) не равен 0, то производная y'(x) вычисляется по формуле y'(t) = - F'x(x, y) / F'y(x, y).

или

ПРИМЕРЫ:

2. Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы, решение простейших матричных уравнений, жордановы исключения.

Самаров- Линейная алгебра.pdf - стр. 3 – 9 (Матрицы и операции над ними)

Самаров- Линейная алгебра.pdf - стр. 10 – 13 (Обратная матрица)

Самаров- Линейная алгебра.pdf - стр. 13 – 16 (решение простейших матричных уравнений)

См. лекции по Линейной алгебре (Борисова) - Лекция мм1

3. Постановка задачи межотраслевого баланса (модель В.Леонтьева). Векторы объемов конечной и валовой продукции. Матрица коэффициентов прямых затрат.

См. лекции по Линейной алгебре (Борисова) - Лекция мм4

См. лекции по Линейной алгебре (Борисова) - Лекция мм5

4. Решение уравнений межотраслевого баланса матричным способом. Матрица коэффициентов полных затрат.

См. лекции по Линейной алгебре (Борисова) - Лекция мм4

См. лекции по Линейной алгебре (Борисова) - Лекция мм5

5. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Постановка задачи Коши.

Самаров- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.pdf- стр. 11 – 13

+

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях С1 и С2 является решением этого уравнения.

Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от Х, то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением, т.е. она тождественно < > нулю (0).

Определение. Частное решение дифференциального уравнения будем искать в виде функции

Определение. Уравнение , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции у единицей, а и - соответствующими степенями к, называется характеристическим уравнением.

Известно, что квадратное уравнение имеет решение, зависящее от дискриминанта : , т.е. если D>0, то корни k1 и k2- действительные различные числа. Если D=0, то . Если же D<0, т.е. , то будет мнимым числом, а корни k1 и k2 - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать . Пример: Решить уравнение: . Решение. Дискриминант этого квадратного уравнения D = 4^2*1 – 4*1*13 = 16-52 = - 36 <0 , поэтому

Покажем, как по виду корней характеристического уравнения найти общее решение однородного линейного уравнения второго порядка.

1. Если D>0 , то - - действительные корни характеристического уравнения, то

2. Если D = 0 => корни характеристического уравнения одинаковы, т.е. , то общее решение дифференциального уравнения ищут по формуле

3. Если D<0, то характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то

ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения: (только сдесь -12y).

Решение. Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения: . Его корни и действительны и различны. Поэтому общее решение .

ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения: .

Решение. Характеристическое уравнение или имеет корни Так что .

ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения .

Решение. Характеристическое уравнение . D<0 => Корни этого уравнения , поэтому общее решение линейного однородного уравнения находим по формуле , где , . Итак, .

Постановка задачи Коши.

Определение. Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, называется задачей Коши.

Из всех разделов математического анализа, дифференциальные уравнения являются одним из самых важных по своим приложениям, ибо решая дифференциальное уравнение, т.е. находя некоторую функцию, мы устанавливаем закон, по которому происходит то или иное явление или процесс.

Определение. Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) – это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х0)=у0. Геометрически это означает, что требуется найти интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку M0(x0,y0) при выполнении равенства (6.1).