6. Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Операции над событиями. Вероятность суммы двух событий.

Самаров- ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.pdf - стр. 3 – 5

+

http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/

Классическое определение вероятности. Пусть события E1,E2, ..., En в одном опыте образуют полную группу равновероятных и попарно несовместных событий (к примеру бросание игральной кости). Будем называть их исходами испытания. Предположим, что событию A благоприятствуют M исходов испытания. Тогда вероятностью события A в данном опыте называют отношение M/N. Итак, мы приходим к следующему определению:

Вероятностью P(A) события в определенном опыте называется отношение числа M исходов опыта, благоприятствующих событию A, к общему числу N возможных исходов опыта, образующих полную группу равновероятных попарно несовместных событий:

Это определение вероятности часто называют классическим. Можно сказать, что классическое определение удовлетворяет аксиомам вероятности.

Событие A может появиться k раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:

Геометрические вероятности. Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l / Длина L.

Операции над событиями.

1. Объединением (или суммой A+B) двух событий A и В называется событие С, заключающееся в том, что произойдет по крайней мере одно из событий A или В. Это событие обозначается так: С=А+В. Объединением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении по крайней мере одного из них. Запись D=A+B+C означает, что событие D есть объединение событий A, В и С.

Объединением событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно.

2. Совмещением (или произведением A*B) двух событий A и В называется событие, состоящее в совместном наступлении как события A, так и события В. Это событие будем обозначать АВ или ВА.

3. Разностью (дополнение ) событий A-B называется событие C, состоящее из всех элементарных событий, входящих в A, но не входящих в B.

4. Противоположным к событию A называется событие , состоящее в том, что событие A в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в A.

5. События A и B называют несовместными, если , т.е. совмещение (произведение) А и В равно пустому множеству (нулю), они не могут произойти одновременно.

Вероятность суммы двух событий.

Пусть A и B — два несовместных события, причем в n испытаниях событие A произошло m1 раз, а событие В произошло m2 раз. Тогда частоты событий A и В соответственно равны P*(A)=m1/n, P*(B)=m2/n. Так как события A и В несовместны, то событие A+B в данной серии опытов произошло m1+m2 раз. Следовательно,

Таким образом, частота события A+B равна сумме частот событий A и В. Но при больших n частоты P*(A), P*(B) и P*(A+B) мало отличаются от соответствующих вероятностей P(A), P(B) и P(A+B). Поэтому естественно принять, что если A и В — несовместные события, то P(A+B)=P(A)+P(B).

Изложенное позволяет высказать следующие свойства вероятностей, которые мы принимаем в качестве аксиом.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р(А), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию .

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3 (аксиома сложения вероятностей). Пусть A и В — несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B).