8. Определение эффективной полосы пропускания частот аср:

• Оценка ошибок от помех,обусловленных широкополосными воздействиями;

• Эквивалентная полоса шумов.

При широкополосном спектре помехи, при котором в пределах

пропускания системы , ошибка от помех с определенным приближением вычисляется по формуле :

где - полоса шумов или эффективная полоса пропускания системы. Полоса шумов аналитически определяется выражением:

т.е равна умноженному на табличного интеграла I, полиномы числителя и знаменателя подынтегрального выражения которого совпадают с соответствующими полиномами передаточной функции замкнутой системы.

Для приближенных расчетов можно полагать

где - частота разомкнутой системы.

Для определения эффективной полосы пропускания используется программа КP6.BAS ,исходными данными для которой являются:

• расчетный коэффициент передачи(см.выше)

• коэффициенты передаточной функции

• настройки выбранного регулятора S1, S2, S3

Результатом работы программы KP6 будут следующие значения:

ПИ:

ПИД-1:

ПИД-2:

ПИД-3:

При выборе регулятора необходимо строго знать, что П-регуляторы обеспечивают максимальное быстродействие системы, но уступают ПИ и ПИД-регуляторам в минимизации динамической ошибки. Кроме того, использование П-регулятора приводит к возникновению статической ошибки регулирования.

Вывод:

На практике в большинстве случаев применяют ПИ-регуляторы, поскольку они практически исключают статическую и динамическую ошибку регулирования, и имеют средние стоимостные показатели. ПИД-регуляторы обеспечивают наиболее высокое качество регулирования, однако их следует использовать только в случае крайней необходимости, так как они наиболее сложные по конструкции приборы и более дорогие в эксплуатации.

На основе анализа качества переходных процессов, определяется оптимальный регулятор.

В данном случае оптимальным является ПИ-регулятор с настройкой:

S₀= 0,1894

S₁= 0,2305

S2= 0

его качество переходного процесса не сильно уступает качеству ПИД-3 регулятора с настройкой

S₀= 0,2053

S₁= 0,2419

S2= 0,0894

но стоимостные показатели ниже.

Приложение 2.

Численный метод Рунге-Кутта (Эйлера).

Метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение:

с начальным условием

Подставив  в уравнение , получим значение производной в точке  :

При малом   имеет место:

Обозначив   , перепишем последнее равенство в виде:

         

Принимая теперь  за новую исходную точку, точно также получим:

В общем случае будем иметь:

      

Это и есть метод Эйлера. Величина   называется шагом интегрирования. Пользуясь этим методом, мы получаем приближенные значения у , так как производная   на самом деле не остается постоянной на промежутке длиной  . Поэтому мы получаем ошибку в определении значения функции у , тем большую, чем больше  . Метод Эйлера является простейшим методом численного интегрирования дифференциальных уравнений и систем. Его недостатки – малая точность и систематическое накопление ошибок.

Более точным является модифицированный метод Эйлера или метод Эйлера с пересчетом. Его суть в том, что сначала по формуле находят так называемое «грубое приближение»:

а затем пересчетом  получают тоже приближенное, но более точное значение:

          

Фактически пересчет позволяет учесть, хоть и приблизительно, изменение производной  на шаге интегрирования  , так как учитываются ее значения   в начале и   в конце шага (рис. 1), а затем берется их среднее.

Метод Эйлера с пересчетом является по существу методом Рунге-Кутта 2-го порядка [2], что станет очевидным из дальнейшего.

Рис. 1. Геометрическое представление метода Эйлера с пересчетом.