2. Определение параметров пф по каналу регулирования:

Построение математической модели линейной системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:

• На основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;

• Определяются значения коэффициентов передаточной функции из условия наилучшего приближения модели и объекта;

• Производится оценка точности аппроксимации:

Определение передаточной функции модели:

Одним из наиболее удобных методов расчета передаточных функций по кривой разгона с использованием ЭВМ является метод "площадей".

Рассмотрим функцию h(t), которая получена из экспериментальной переходной функции объекта исключением чистого запаздывания и нормировки. Пусть h(0) = h'(0) = 0.

Обычно выражение для передаточной функции ищут в виде одной из трех математических моделей:

	(1.1)
	(1.2)
	(1.3)

Выражение , обратное передаточной функции модели, можно разложить в ряд по степени р:

(1.4)

Очевидно, что для модели (1.1) a₁ = S₁, a₂ = S₂, а₃ = S₃; для модели (1.2) a₁ = S₁, a₂ = S₂; для модели (1.3) коэффициенты b_i, a_i, i = 1,2,3... связаны с коэффициентами S_i системой уравнений:

(1.5)

Коэффициенты S_i связаны с переходной функцией h(t) соотношениями:

,
,
,	(1.6)
.

Моментом i - го порядка функции (1 - h(t)) называется несобственный интеграл

.

(1.7)

Тогда формулы для S можно переписать:

,
,
,	(1.8)
.

Таким образом, определив по графику h(t) значение моментов M_i методом численного интегрирования и вычислив величины S_i, можно найти значения коэффициентов передаточной функции.

Выбор вида передаточной функции производится из следующих соображений: если коэффициенты S₁, S₂, S₃ положительны, то задаются моделью (1.1) или (1.2). Если хотя бы один из них отрицателен - моделью (1.3).

В соответствии с вышеизложенной методикой определим коэффициенты передаточной функции по компьютерной программе, выбрав шаг дискретизации t=0,5 и произведя нормировку в соответствии с формулой:

получим следующие табличные значения: (см Таблицу1.)

Путем ввода последних (t , h(t) и t) в программу KP1, определим коэффициенты передаточной функции:

S₁= 3,081325 (а1)

S₂= 4,090951 (а2)

S₃= 3,875584 (а3)

В соответствии с этим выбираем передаточную функцию вида (1.1) или:

Проведём оценку точности аппроксимации системы на случай, когда аппроксимирующая передаточная функция имеет вид

_{Запишем дифференциальное уравнение}

Введём новые переменные

При возмущающем воздействии

x(t)=1(t)

Обозначив

y=y1

Запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка

y1’=y2

y2’=(1-y1-3,8755y2-4,0909y3)/3,081

Полученную систему дифференциальных уравнений решают методом Рунге-Кута второго порядка.

ПИ-регулятор

П _р-р

Об.

y

x_упр

x

И _р-р

-1

Передаточная функция ПИ-регулятора запишется в виде:

Но, в соответствии со схемой выше:

где:

тогда:

;

ПИД- регулятор

П _р-р

Об.

И _р-р

x_упр

y

x

Д _р-р

-1

Передаточная функция ПИД-регулятора запишется в виде:

Но, в соответствии со схемой выше:

где:

тогда:

;

Пусть:

Полученная система дифференциальных уравнений решается с помощью численного интегрирования методом Рунге-Кутта(см.Приложение2). В итоге получим:

Расчетная переходная функция модели:

t , мин.	Ѳ , ⁰С	Ѳnorm	Ѳaproks.	∆
0	25	0	0	0
0,5	25,1	0,01205	0	0,01205
1	25,4	0,04819	0,02800	0,02020
1,5	26	0,12048	0,09276	0,02772
2	26,6	0,19277	0,19243	0,00034
2,5	27,6	0,31325	0,31832	-0,00506
3	28,2	0,38554	0,45836	-0,07281
3,5	30,3	0,63855	0,59992	0,03864
4	31,5	0,78313	0,73184	0,05129
4,5	32,4	0,89157	0,84569	0,04588
5	33	0,96386	0,93630	0,02755
5,5	33,2	0,98795	1,00176	-0,01381
6	33,3	1	1,04297	-0,04297
6,5	33,3	1	1,06294	-0,06294
7	33,3	1	1,06602	-0,06602
7,5	33,3	1	1,05713	-0,05713

Таблица1.

Кривые разгона объекта и модели

Вывод:

Результат расчета переходной функции модели на ЭВМ и сравнение ее с экспериментальной функцией показали, что максимальное расхождение между ними составило 0,073, что лежит в допустимых пределах  0,08.