Задача №7
Задание. Получить численное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию на отрезке с шагом , методом Эйлера
,
,
.
Решение. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной
(1)
состоит в том, чтобы найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию
.
(2)
Простейшим численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера, называемый иногда методом ломаных Эйлера.
Пользуясь тем,
что в точке
известно и значение решения
и значение его производной
,
можно записать уравнение касательной
к графику искомой функции
в точке
:
.
(3)
При достаточно
малом значении
ордината
этой
касательной, полученная подстановкой
в правую часть (3) значения
,
по непрерывности должна мало отличаться
от ординаты
решения
задачи (1)-(2). Следовательно, точка
пересечения касательной с прямой
может быть приближенно принята за новую
начальную точку. Через эту точку снова
проведем прямую
,
которая
уже приближенно отражает поведение
касательной к
в точке
.
Подставляя сюда
,
получим приближение значения
значением
и т.д. Продолжая вычисления в соответствии с намеченной схемой, получим формулу Эйлера для решения задачи Коши (1) - (2)
(4)
Геометрический
смысл метода Эйлера заключается в том,
что интегральная кривая
на
каждом отрезке
,
,
…,
заменяется отрезком касательной к
интегральной кривой, проходящей через
точки
,
а интегральная кривая заменяется
ломаной, проходящей через точки
,
,
…,
.
Эта ломаная называется ломаной Эйлера.
В нашем случае
Находим
последовательные значения аргумента:
,
,
,
,
.
Вычислим соответствующие значения
искомой функции:
Результаты вычислений представим в таблице 5.
Таблица 5
|
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
|
1 |
1.1 |
1.22 |
1.362 |
1.5282 |
Библиографический список
1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - М.: Высш. шк., 1999. Ч. 2. 415 c.
2. Демидович Б. П. Основы вычислительной математики / Б. П. Демидович, И.А. Марон. – М: Наука, 1970. 664 с.
3. Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике / Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова. – М: Высш. шк., 1990. 207 с.
4. Вержбицкий В.М. Численные методы / В.М. Вержбицкий. – Высш. шк., 2001. 382 с.
5. Копченова И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / И.В. Копченова, И.А. Марон. – М: Наука, 1972.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1977. Т. 1,2.