Задача №5 численное дифференцирование
Задание. С помощью интерполяционной формулы Ньютона найти значение первой и второй производных при данных значениях аргумента для функции, заданной таблично.
-
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.526
3.782
3.945
4.043
4.104
4.155
3.6
3.8
4.0
4.2
4.4
4.6
4.222
4.331
4.507
4.775
5.159
5.683
1)
;
(
.
-
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
3.526
3.782
3.945
4.043
4.104
4.155
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
4.222
4.331
4.507
4.775
5.159
5.683
2)
;
(
.
Задача №6 численное интегрирование
Задание. 1) Вычислить интеграл по формуле трапеций с тремя десятичными знаками после запятой.
2)
Вычислить
интеграл по формуле Симпсона при
.
оценить погрешность результата, составив
таблицу конечных разностей.
№1.
№2.
№3.
№4.
№5.
№6.
№7.
№8.
№9.
№10.
№11.
№12.
№13.
№14.
№15.
.
№16.
.
№17.
№18.
№19.
№20.
Задача №7
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
ЗАДАЧА КОШИ
Задание.
Получить численное решение
дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее заданному начальному
условию
на отрезке
c шагом
,
методом Эйлера.
№1.
.
№2.
.
№3.
.
№4.
.
№5.
.
№6.
.
№7.
.
№8.
.
№9.
.
№10.
.
№11.
.
№12.
.
№13.
.
№14.
.
№15.
.
№16.
.
№17.
.
№18.
.
№19.
.
№20.
.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ №2
Задача №1
Дана таблица
значений функции
.
Построить для этой функции интерполяционный
многочлен Лагранжа и с помощью его
найти приближенное значение функции
для заданного аргумента
|
0 |
0.5 |
1.0 |
1.5 |
2 |
|
-1 |
2 |
4 |
3 |
-2 |
Решение.
Часто приходится рассматривать
функции
,
заданные табличными значениями
.
Эти значения могут быть получены в
результате расчета, эксперимента, опыта
и т.д. Значения же функции в промежуточных
точках неизвестны и их получения может
быть связано с проведением сложных
расчетов и экспериментов. В некоторых
случаях даже при известной зависимости
ее использование в практических расчетах
затруднительно из-за ее громоздкости
(содержит трудно вычисляемые выражения,
сложные интегралы и т.д.).
В связи с этим
возникает задача о приближении
(аппроксимации) функций: функцию
,
заданную таблично или аналитически,
аппроксимировать функцией
,
так, чтобы отклонение
от
в заданной области было наименьшим.
Функция
при этом называется аппроксимирующей.
На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом
.
(1)
При этом коэффициенты
подбираются так, чтобы достичь наименьшего
отклонения многочлена от данной функции.
В этом случае будем говорить о
полиномиальной аппроксимации или
кусочно-полиномиальной аппроксимации.
Если приближение
строится на заданном дискретном
множестве точек
,
то аппроксимация называется точечной.
К ней относятся интерполирование,
среднеквадратичное приближение и др.
При
построении приближения на непрерывном
множестве точек (например, на отрезке
),
аппроксимация называется непрерывной
(или интегральной).
Одним из основных
типов точечной аппроксимации является
интерполирование. Оно состоит в
следующем: для данной функции
строим многочлен (1), принимающий в
заданных точках
те же значения
,
что и функция
,
т.е.
,
.
(2)
При этом
предполагается, что среди значений
нет одинаковых, т.е.
при
.
Точки называются узлами интерполяции, а многочлен - интерполяционным многочленом. Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек.
Максимальная
степень интерполяционного многочлена
.
В этом случае говорят о глобальной
интерполяции, так как один многочлен
(3)
используется для интерполяции функции на всем рассматриваемом интервале аргумента . Коэффициенты многочлена (3) находятся из системы уравнений (2).
Построим теперь
интерполяционный многочлен, единый для
всего отрезка
.
Пусть задано
значение таблично заданной функции
-
…
…
Интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной функции имеет вид
или
.
Подставим в эту формулу заданные табличные значения функции
После преобразования этого выражения, получим
или
Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа для заданной табличной функции имеет вид
Вычислим значение функции для заданного аргумента
Следовательно,
.