Индивидуальное задание

7.6

Линейный сплайн

Найти экстремумы функции

Данные к задаче:

x	-3	-2.55	-2.1	-1.65	-1.2	-0.75	-0.3	0.15	0.6	1.05	1.5	1.95	2.4
y	0.262	-1.032	-1.747	-1.981	-0.564	0.774	2.400	2.131	2.2	-0.393	-1.815	-0.788	8.030

Теория:

Естественная потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всём отрезке [a,b] гладкость, привела к появлению в 1946 г. так называемых сплайн-функций или сплайнов – специальным образом построенных гладких кусочно-многочленных функций. Получив в 60-х годах XX в. распространение как средство интерполяции сложных кривых, сплайны к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов, и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.

Пусть отрезок [a,b] разбит точками a=x <x <…<x = b на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция S (x), обладающая следующими свойствами:

1. функция S (x) непрерывна на отрезке [a,b] вместе со всеми своими производными S (x), S (x), …, S (x) до некоторого порядка p;

2. на каждом частичном отрезке [x ,x ] функция S (x) совпадает с некоторым алгебраическим многочленом P (x) степени m.

Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a,b] производной называется дефектом сплайна.

Простейший пример сплайна даёт непрерывная кусочно-линейная функция, являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным 1. На отрезке [a,b] сама функция S (x) совпадает с некоторым многочленом первой степени.

Линейный сплайн дефекта 1:

P =

P =

S (x) = …

P =

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности , , некоторой точки своей области определения. Точка называется точкой локального максимума, если в некоторой такой окрестности выполняется неравенство (), и точкой локального минимума, если .

Понятия локальный максимум и локальный минимум объединяются термином локальный экстремум.

Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка была точкой локального экстремума функции .

Теорема. Если точка - это точка локального экстремума функции , и существует производная в этой точке , то .

(доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма)

Утверждение теоремы можно переформулировать так:

если функция имеет локальный экстремум в точке , то либо

1) , либо

2) производная не существует.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную

f ¢ (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Решение:

Вводим исходные данные:

Задаём линейный сплайн:

Сплайн имеет вид:

Найдём экстремумы согласно первому достаточному условию:

Производные сплайна имеют вид:

Значения в каждом i-ом x:

Очевидно, что знак производная меняет в точках x3,x6,x7,x8,x10. Тогда, согласно достаточному условию, делаем вывод, что x3,x6,x7,x8,x10 – экстремумы функции.