4. Запишіть відповідь.

Підставляючи отримані значення , , в формулу (11.14) отримуємо шуканий розклад заданої функції в ряд Фур’є:

Цей розклад справедливий, тобто отриманий ряд збігається до заданої функції у всіх точках її області визначення . У граничних точках і сума ряду дорівнює (у цих точках усі члени ряду, крім першого, обертаються в нуль).

Приклад 11.18. Розкласти в ряд Фур’є функцію

1. Зробіть графік даної функції.

Наведемо графік функції, одержаної періодичним продовженням її на всю числову вісь.

(графік)

2. Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.

Дана функція є функцією загального виду.

Будемо застосовувати формули (11.14), в яких покладемо . Інтервал інтегрування точкою розіб’ємо на дві частини, оскільки у кожній з них функція задана різними формулами.

3. Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.

.

4. Запишіть відповідь.

Шуканий розклад даної функції має вигляд

.

Приклад 11.19. Розкласти в ряд Фур’є функцію

1. Зробіть графік даної функції.

Зобразимо графік функції, одержаної періодичним продовженням функції на всю числову вісь.

(графік)

1. Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.

Для даної функції зручно застосувати комплексну форму ряду Фур’є (11.17)

3. Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.

.

Зауважимо, що за формулами Ейлера .

Отже, .

4. Запишіть відповідь.

.

Зауваження. Щоб перетворити отриманий ряд в комплексній формі до звичайного тригонометричного ряду Фур’є (якщо це потрібно), слід об’єднати доданки з індексами і і замінити у підсумку за формулами Ейлера показникові функції тригонометричними:

,

Із самої формули ряду в комплексній формі при отримаємо значення .

Таким чином, .

Приклад 11.20. Розкласти в ряд Фур’є функцію . Користуючись отриманим розкладом, знайти суму ряду .

1. Зробіть графік даної функції.

(графік)

Зобразимо функцію та її періодичне продовження на всю числову вісь.

2. Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.

Дана функція є парною, тому будемо застосовувати формули (11.13). В інтервалі функція визначається формулою .

3. Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.

.

Якщо парне, то і

, .

Якщо непарне, , то і

, .

При отриманий тут загальний вираз для не прийнятний, внаслідок чого коефіцієнт обчислюємо окремо, поклавши в загальну формулу (11.13).

.

4. Запишіть шуканий ряд Фур’є.

Шуканий розклад:

.

5. Знайдіть суму заданого в умові числового ряду.

При отриманий розклад перетворюється в рівність

, звідки і визначається сума числового ряду, вказаного в умові:

, .

Зауваження. У цьому прикладі, як і у прикладі 11.20, виявилося, що для заданої функції один із коефіцієнтів ряду не можливо було обчислити за загальною формулою. Тому при розкладанні функції в ряд Фур’є після знаходження загальних виразів для коефіцієнтів і слід перевірити, чи будуть вони прийнятні при всіх значеннях . Для тих значень , при яких ці вирази втрачають сенс, необхідно обчислювати відповідні коефіцієнти окремо, підставляючи ці вилучені значення в загальні формули Фур’є.

Приклад 11.21. Розкласти функцію , , в неповні ряди Фур’є які містять тільки косинуси, або тільки синуси

1. Зробіть графік функції для розкладання її в ряд Фур’є по косинусам.

(графік)

Продовжимо задану функцію на відрізок парним чином . Одержану функцію продовжимо на всю числову вісь з періодом .

2. З’ясуйте, які формули будете застосовувати.

Далі скористаємося формулами (11.13) розкладання в ряд Фур’є парної функції з періодом .

3. Знайдіть коефіцієнти Фур’є.

(для обчислення інтеграла, тут і далі будемо використовувати інтегрування частинками).

.

Якщо , , то і

.

Якщо , , і .

Коефіцієнт обчислюємо окремо:

.

4. Запишіть розклад функції в ряд Фур’є косинусам.

Таким чином, , .

5. Зробіть графік функції для розкладання її в ряд Фур’є по синусам.

Продовжимо задану функцію на відрізок непарним чином та періодично продовжимо на всю числову вісь .

(графік)

6. З’ясуйте, які формули будете застосовувати.

Далі скористаємося формулами (11.14) розкладання в ряд Фур’є непарної функції з періодом .

7. Знайдіть коефіцієнти Фур’є.

, .

Коефіцієнт обчислимо окремо:

.

8. Запишіть розклад функції в ряд Фур’є по синусам.

Отже, , .