11.1.2 Числові знакозмінні , , як додатні так і від’ємні, та знакопочережних , ряди

Ознака Лейбніца.

Достатня ознака збіжності знакозмінних рядів

Ряд умовно збіжний, якщо ряд , збіжний, а ряд .

Алгоритм дослідження збіжності числових знакопочережних рядів :

Приклад 11.6 Дослідити збіжність знакопочережного ряду

Дослідіть збіжність ряду, членами якого є абсолютні значення членів даного ряду.

Розглянути ряд - це числовий знакододатний ряд. Згідно рекомендаціям у параграфі 11.1.1 застосуємо до цього ряду граничну ознаку порівняння – порівняємо з рядом .

Оскільки ряд збігається, то ряд теж збігається.

2. Зробіть висновки, щодо подальшого дослідження.

Застосувавши достатню ознаку збіжності знакозмінних рядів робимо висновок, що заданий ряд є абсолютно збіжним.

Приклад 11.7 Дослідити збіжність ряду

Дослідіть збіжність ряду, членами якого є абсолютні значення членів даного ряду.

Даний ряд є знакопочережним.

Складемо ряд з його абсолютних величин (знакододатний). Дослідимо його, наприклад, за інтегральною ознакою.

Отже, знакододатний ряд розбігається.

2. Зробіть висновки, щодо подальшого дослідження.

Для подальшого дослідження слід застосувати ознаку Лейбніца.

3. Застосуйте ознаку Лейбніца.

Перевіримо виконання умов ознаки Лейбніца.

1) Члени даного ряду спадаюсь по модулю:

2) .

Бачимо що обидві умови ознаки Лейбніца виконуються.

4. Запишіть відповідь.

Оскільки за ознакою Лейбніца ряд збігається, а ряд з абсолютних величин розбігається, то заданий ряд є умовно збіжним.

Приклад 11.8 Дослідити збіжність ряду

Дослідіть збіжність ряду, членами якого є абсолютні значення членів даного ряду.

Даний ряд є знакозмінним.

Складемо ряд з його абсолютних значень і дослідимо отриманий ряд з додатними членами. Порівняємо його з геометричною, нескінченно спадною прогресією , яка є збіжним рядом(можна обчислити її суму). Кожний член отриманого ряду не більше відповідного члена геометричної прогресїї: . Тому, згідно першої ознаки порівняння, ряд з додатними членами теж збігається.