5. Запишіть відповідь.

Областю збіжності заданого ряду є інтервал , до якого приєднуються точки . Отже, область збіжності: .

11.3 Розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена

Ряд Тейлора функції має вигляд:

....................., де .

Ряд Маклорена функції має вигляд:

...................., де .

Розкладання функцій в степеневі ряди в загальному випадку базується на використанні рядів Тейлора або Маклорена. Але на практиці для багатьох функцій степеневі ряди можна знайти, використовуючи відомі формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена.

Формули розкладу елементарних функцій в ряд Маклорена.

Алгоритм розкладання функцій в ряд Маклорена.

1. Представити задану функцію через елементарні функції, для яких відомі розклади в ряд Маклорена.

2. Скористатися розкладами елементарних функцій(якщо потрібно, зробити перетворення, щоб можна було застосувати відомі розклади).

3. Записати шуканий ряд Маклорена.

Приклад 11.15. Розкласти функцію в ряд Маклорена

1. Представте задану функцію через елементарні функції, для яких відомі розклади в ряд Маклорена.

Розкладемо задану функцію на суму двох найпростіших дробів:

.

Для першого доданку розклад в ряд Маклорена відомий (див. формулу 11.9). Отже, .

2. Зробіть перетворення, щоб можна було застосувати відомий розклад.

Перетворимо вираз :

.

Якщо тепер у формулі (11.9) замість напишемо , то отримаємо або .

3. Запишіть шуканий ряд Маклорена.

У підсумку .

Приклад 11.16. Розкласти функцію в ряд Маклорена

1. Представте задану функцію через елементарні функції, для яких відомі розклади в ряд Маклорена.

Застосуємо тригонометричну формулу зниження степеня.

Тоді .

2. Зробіть перетворення, щоб можна було застосувати відомий розклад.

Якщо у формулі (11.7) замість напишемо , то отримаємо , .

3. Запишіть шуканий ряд Маклорена.

У підсумку маємо:

, .

11.4 Ряди Фур’є Алгоритм розкладання функцій в ряд Фур’є

1. Зробити графік заданої функції.

2. Проаналізувати графік функції і обрати формули, за якими дана функція представляється рядом Фур’є.

3. Знайти коефіцієнти ряду Фур’є.

4. Записати відповідь.

Приклад 11.17. Розкласти в ряд Фур’є функцію

1. Зробіть графік даної функції.

(графік)

Зобразимо задану функцію та іі періодичне продовження на всю числову вісь.

Задана функція задовольняє умови теореми Діріхле.

2. Проаналізуйте функцію і оберіть потрібні формули для подальшого розв’язування прикладу.

Дана функція не є ні парною, ні непарною. Будемо застосовувати формули (11.14), в яких покладемо , а границі інтегрування і , оскільки функція задана в інтеграл .

3. Знайдіть коефіцієнти ряду Фур’є.

;

=

;

.

Важливо пам’ятати:

, ; ;

, ; .