10.4. Регресивний аналіз

Під регресивним аналізом розуміють дослідження закономірностей зв’язку між явищами, які залежать від багатьох невідомих факторів. Одному значенню х відповідає декілька значень y. Отже, функцію є регресивною (кореляційною), якщо катому значенню аргументу відповідає статичний ряд розподілу y. Встановлення регресивних залежностей між величинами y та х можливі лише тоді, коли виконуються статистичні виміри.

Суть регресивного методу зводиться до встановлення рівняння регресії, тобто виду кривої між випадковими величинами, оцінка зв’язку між ними, достовірності і адекватності результатів вимірювання. Якщо на кореляційному полі усереднити точки, то для кожного значення, з’єднавши, можна отримати ламану лінію, яка називається експериментальною регресивною залежністю.

Розрізняють однофакторні (парні) і багатофакторні регресивні залежності. Парна регресія при першій залежності може бути апроксимована прямою лінією, параболою, гіперболою, логарифмічною, степеневою або показниковою функцією, поліномом тощо.

Двохфакторне поле можна апроксимувати площиною, параболоїдом другого порядку, гіперболоїдом. Лінію регресії розраховують з умов найменших квадратів.

На практиці часто виникає потреба у встановленні зв’язків між y та багатьма параметрами х₁, ....х_n на основі багатофакторної регресії.

Багатофакторні теоретичні регресії апроксимуються поліномами першого та другого порядку. Математичні моделі характеризують стохастичний процес досліджуваного явища, рівняння регресії визначають систематичну, а похибка розкиду – випадкову складову.

Теоретичну модель множинної регресії можна отримати методами математичного планування, тобто активним експериментом, а також пасивним, коли точки факторного простору вибираються в процесі експерименту довільно.

10.5. Оцінка адекватності теоретичних рішень

Методи оцінки адекватності основані на використанні довірливих інтервалів, які дозволяють з заданою довірливою імовірністю визначити шукане значення оцінюваного параметра. Суть такої перевірки полягає в співставленні отриманої або передбачуваної теоретичної функції з результатом вимірювань. На практиці для оцінки адекватності користуються різними статистичними критеріями узгодження. Одним із таких критеріїв є критерій Фішера. Встановлення адекватності – це визначення похибки апроксимації дослідних даних. Критерій Фішера використовують для визначення адекватності малих вибірок. При великих вибірках використовують критерії Персона, Романовського, Колмогорова.

10.6. Елементи теорії планування експерименту

Математична теорія експерименту визнає умови оптимального проведення дослідження, в тому числі, при неповному знанні фізичної суті явища. Для цього використовуються математичні методи при підготовці та проведенні дослідів, що дозволяє дослідити та оптимізувати складні системи і процеси, які забезпечують високу ефективність експерименту та точність визначення досліджуваних факторів. Експерименти звичайно ставлять невеликими серіями по наперед узгодженому алгоритму. Після кожної невеликої серії проводиться обробка результатів спостереження та приймаються суворо обґрунтовані рішення про те, що робити далі.

До теорії математичного експерименту входить ряд концепцій, які забезпечують успішну реалізацію задач дослідження. До них відносяться концепції рандомізації, послідовного експерименту, математичного моделювання оптимального використання факторного простору та ряду інших.

При використанні методів математичного планування експерименту можливо: вирішувати різні питання, пов’язані з вивченням складних процесів та явищ; проводити експеримент з метою організації технологічного процесу до змінних оптимальних умов його протікання і забезпечувати таким чином високу ефективність його здійснення.

Принцип рандомізації полягає в тому, в план експерименту вводять елемент випадковості. При послідовному проведенні експеримент виконується не довгочасно, а поетапно, з тим, щоб результат кожного етапу можна було аналізувати і приймати рішення про доцільність подальшого проведення досліджень. В результаті експерименту отримують рівняння регресії, яке часто називають моделлю процесу. Для конкретних випадків математична модель з цілеспрямованості процесу та задач дослідження, з урахуванням необхідної точності вирішення та достовірності вихідних даних. Оскільки степінь полінома, який описує процес, передбачити неможливо, то спочатку пробують описати явище, підвищують степінь полінома, тобто проводять спостереження експерименту поетапно.

Важливе місце в теорії планування експерименту займають питання оптимізації процесів, які досліджуються, властивостей багатоканальних систем та інших об’єктів. У більшості випадків за критерій оптимальності вибирають лише один із змінних станів критерію – функцію відгуку, а решту вважають прийнятним для даного випадку.