3.4. Скорости и ускорения точек плоской фигуры

Распределение скоростей и ускорений точек плоской фигуры определим из формул Эйлера и Ривальса с учетом соотношения (3.14.11):

. (3.14.11)

В результате получим

,

,

причем, в этих соотношениях имеют место тождества

, , .

4º. Мгновенный центр скоростей. Подвижная и неподвижная центроиды

4.1. Мгновенный центр скоростей. Теорема существования

Определение 4

Точка плоскости плоской фигуры, которая в момент времени имеет скорость, равную нулю, называется мгновенным центром скоростей (МЦС).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1

Если движение плоской фигуры не является мгновенно поступательным или мгновенным покоем, то:

1. в плоскости плоской фигуры существует единственная точка , скорость которой в заданный момент времени равна нулю;

2. все другие точки плоской фигуры имеют такие скорости, какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг этой точки .

Доказательство

Докажем первое утверждение по следующему плану.

• Будем смотреть на формулу Эйлера для скоростей точек плоской фигуры как на уравнение, задающее неявно вектор-функцию в зависимости от значения скорости .

• Решив это уравнение относительно  , найдем тем самым положения всех тех точек, которые имеют одинаковые скорости.

• Положив , установим все точки, имеющие нулевую скорость.

Переходим к реализации этого плана.

Согласно формуле Эйлера, указанное уравнение имеет вид

.

Перенесем  в левую часть равенства и умножим его обе части векторно на орт слева. Получим

.

Поскольку , то отсюда находим

.

Согласно условию теоремы имеем . Поэтому при любом справедливо равенство

. (3.14.15)

Из (3.14.15) заключаем, что если , то между положением точки плоской фигуры и ее скоростью выполняется взаимно однозначное соответствие.

Положим в (3.14.15) . Этим самым найдем положение  той единственной точки плоской фигуры, которая имеет скорость в момент времени . Оно будет определяться по формуле:

. (3.14.16)

Первое утверждение теоремы 1 доказано.

Докажем второе утверждение.

Справедливость утверждения 2) будет установлена, если покажем, что скорость любой точки плоской фигуры может быть определена по формуле

,

где — радиус-вектор точки относительно точки .

Легко видеть, если в формуле Эйлера в качестве точки  взять точку , то эта формула примет вид

,

Теорема доказана.

4.2. Понятие неподвижной и подвижной центроиды

Определение 5

Геометрическое место положений МЦС при всех в абсолютном пространстве называется неподвижной центроидой.

Геометрическое место положений МЦС при всех в подвижном пространстве, связанном с плоской фигурой, называется подвижной центроидой.

Выведем уравнения подвижной и неподвижной центроиды.