2º. Понятие связанной системы координат

Определение

Декартовая прямоугольная система координат, в которой координаты любой точки жесткой системы остаются постоянными на любых движениях и при всех значениях времени , где движения определены, называется связанной системой координат.

Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства жестких систем.

1. Для любой жесткой системы существует связанная система координат.

2. Жесткая система неподвижна в том пространстве, которое задается связанной системой координат.

3. За полюс связанной системы координат можно брать любую точку жесткой механической системы, а также любую точку того пространства, в котором жесткая система неподвижна.

4. За базис связанной системы координат можно брать любые три ортонормированных вектора, образующих правую тройку в указанном пространстве.

Выводы

1. Неизменяемая (жесткая) механическая система имеет бесчисленное множество связанных систем координат.

2. Неизменяемая механическая система определяет пространство, в котором эта механическая система неподвижна. Все точки этого пространства движутся вместе с механической системой.

3. Поскольку твердое тело — это неизменяемая система, то все сказанное справедливо и для твердого тела.

§2. Способы задания движения твердого тела

1º. Векторный способ задания движения твердого тела

В соответствии с понятием движения системы материальных точек (см. определение 4 в §4 Введения) дадим следующее определение движения твердого тела.

Определение 1

Движением твердого тела на промежутке времени будем называть совокупность вектор-функций, состоящую из движений на этом промежутке всех его точек.

Движение твердого тела считается заданным, если описан алгоритм, по которому может быть построено движение любой его точки.

Пусть — точка твердого тела, — точка отсчета в абсолютном пространстве, — положение точки  в абсолютном пространстве относительно точки  в некоторый момент времени  (см. рис. 3.2.1).

Пусть — полюс связанной системы координат, — ее ортонормированный базис. Указанная система координат определяет (задает) пространство, движущееся вместе с твердым телом.

В нем (в указанном пространстве) все точки твердого тела находятся в покое независимо от того, какие движения они совершают в абсолютном пространстве.

Рис. 3.2.1

Другими словами, если обозначим

— радиус-вектор точки  относительно полюса  ,

— ее координаты в связанной системе,

то положение  в этой системе можно вычислить по формуле

.

Величины являются постоянными при всех на любых движениях точки  .

Если обозначим — положение точки относительно точки отсчета в момент времени , то положение точки  в этот момент можно представить в виде суммы двух векторов:

• вектора , задающего положение точки относительно точки отсчета  ,

• вектора , соответствующего положению точки относительно точки отсчета .

Таким образом, по правилу сложения векторов можем записать , или иначе,

. (3.2.1)

Поскольку в (3.2.1) величины постоянны, то их можно считать известными для каждой точки твердого тела.

Они являются координатами точки в связанной системе, не зависят от движения твердого тела в абсолютном пространстве и могут быть вычислены заранее (до начала его движения).

А тогда, если известны законы изменения по времени четырех векторов , , то соотношение (3.2.1) позволяет вычислить движение  любой точки твердого тела по заданным ее координатам в связанной системе.

Отсюда делаем заключение.

Для определения движения твердого тела на промежутке времени достаточно задать дважды непрерывно дифференцируемые на этом промежутке времени вектор-функции

.

Если указанные функции заданы, то движение точки твердого тела, имеющей геометрические характеристики , будет определяться соотношением (3.2.1)

. (3.2.1)

Замечание

Поскольку (3.2.1) справедливо для любой точки твердого тела, то индекс в соотношении (3.2.1) можем опустить и записать его в виде

. (3.2.2)

В (3.2.2) — координаты любой точки твердого тела в связанной системе. Они являются постоянными величинами.

Более того, равенство (3.2.2) справедливо не только для точек твердого тела, но и для любой точки пространства, задаваемого связанной системой координат (это следует из теоремы о трех точках).

Соотношение (3.2.2) называется векторным способом задания движения твердого тела.