1.4. Теорема существования связанной системы координат

Докажем следующую теорему.

Теорема

Для любой жесткой механической системы можно указать декартовую прямоугольную систему координат, в которой все точки механической системы сохраняют значения своих координат неизменными при любых ее движениях.

Доказательство

Если механическая система содержит хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой в какой-либо фиксированный момент времени , то, согласно лемме 1, они не будут находиться на одной прямой в любой момент времени на любых движениях этой системы.

Тогда справедливы условия леммы 2, и можно ввести следующую систему координат.

Начало ее в любой момент времени совпадает с точкой , а базис совпадает с ортами , построенными при доказательстве леммы 2.

Заметим, что эта система координат при движении механической системы в общем случае изменяет свое положение в абсолютном пространстве вместе с точками , поскольку:

• меняет свое положение ее полюс  ,

• меняют направления базисные векторы .

Как следует из доказательства леммы 2, введенная таким образом система координат удовлетворяет условиям теоремы.

Рассмотрим теперь другую ситуацию.

Пусть механическая система состоит из точек, лежащих на одной прямой в некоторый момент времени .

Согласно следствию из леммы 1, все ее точки будут находиться на одной прямой, и их ориентация относительно друг друга будет сохраняться на любых движениях при всех .

Строим систему координат следующим образом:

• полюс ее фиксируем в точке указанной прямой;

• в качестве базисного орта берем направляющий вектор прямой;

• два других базисных орта и выбираем взаимно ортогональными и ортогональными орту  так, чтобы тройка векторов была правой.

Тогда для любой точки механической системы можем записать

,

где — расстояние от точки до точки  ;

— орт, коллинеарный орту , направленный из точки  в точку .

Из леммы 1 вытекает, что если совпадает (противоположно направлен) с в какой-либо момент времени , то и в любой момент времени  он будет совпадать (противоположно направлен) с .

Это доказывает, что вектор  для любого  имеет постоянную проекцию на  , равную  при (- при ), а также то, что ортогонален ортам   и  . Теорема доказана полностью.

1.5. Теорема о трех точках

Рассмотрим жесткую механическую систему, состоящую из материальных точек, среди которых, по крайней мере, три точки не лежат на одной прямой. Обозначим их .

Пусть — точка, которая совершает какое-либо движение в абсолютном пространстве. В частности, она может находиться в покое в этом пространстве.

Следствие (теорема о трех точках)

Если при движениях жесткой механической системы и точки  расстояния от точек  , не лежащих на одной прямой, до точки  остаются неизменными, то расстояния от любой другой точки жесткой системы до точки  будут также неизменными.

Доказательство

Пусть при всех  для точки  и для точек  , не лежащих на одной прямой, выполняются тождества

, , .

Пусть — произвольная точка механической системы (см. рис. 3.1.4). Надо показать, что при всех .

Рис. 3.1.4

Вводим систему координат, о которой говорится в теореме. Тогда в этой системе координаты точки будут постоянными, так как

, , .

Поэтому можем записать

,

где , , .

Для любой точки механической системы также можем записать

.

Координаты , согласно теореме, также будут постоянны. А тогда

.

Отсюда получаем

.

Следствие доказано.