25

ЛЕКЦИЯ 10. Кинематика. Глава 3 (Лекция 1 по главе 3) §1. С. 1-17, §2. С. 17-24, §3. С. 24-28. 31.07.2012.

Глава 3. Кинематика твердого тела

§1. Связанная система координат

В этом параграфе показывается существование такой системы координат, в которой координаты любой точки жесткой системы остаются постоянными при любых ее движениях.

Доказательство проводится на основе анализа уравнений связи , которым подчиняются любые две точки и твердого тела.

1º. Анализ взаимного расположения точек жесткой системы при ее движении

1.1. Свойства вектор-функций, определяющих взаимное расположение двух точек при их движении

Пусть и — две фиксированные точки жесткой системы.

Обозначим и — положения этих точек относительно выбранной точки отсчета , а — их разность (см. рис. 3.1.1).

Рис. 3.1.1

В соответствии с понятием положения точки  относительно точки вектор задает их взаимное расположение, поскольку — это радиус-вектор точки относительно точки в момент времени  .

Очевидно, он может быть вычислен через положения точки и   точки  по формуле:

.

Обозначим — расстояние от точки  до точки в момент времени  , — орт направления из точки в точку ,

.

Так как механическая система является жесткой, то для всех  и на любых движениях механической системы выполняются следующие свойства характеристик, определяющих взаимное расположение двух точек:

1) , ;

2) — дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция времени так же, как и вектор-функция ;

3) если известны вектор-функция и вектор-функция , то положение точки относительно точки по этим функциям определяется по формуле

,

где — постоянная величина, которая может быть вычислена независимо от движения жесткой системы.

1.2. Анализ взаимного расположения трех точек при движении жесткой системы

Пусть заданы три фиксированные точки жесткой системы. Обозначим

, ,

, ,

, .

Лемма 1

Угол между векторами и остается постоянным на любых движениях жесткой системы.

Доказательство

Вычислим квадрат длины вектора . Получим

Поскольку

, , ,

,

где — угол между векторами и , то

.

Следовательно

.

Что и требовалось доказать.

Следствие

Если три точки жесткой механической системы лежат на одной прямой (в какой-либо момент времени), то и при любых они будут находиться на одной прямой.

Сама прямая может при этом каким-либо образом перемещаться в пространстве.

Ориентация точек на этой прямой по отношению друг к другу остается неизменной на любом движении жесткой системы.

Утверждение очевидно.

1.3. Анализ взаимного расположения четырех точек

Рассмотрим теперь движение четырех точек , , жесткой системы, не лежащих на одной прямой.

Обозначим , . Для определенности будем считать, что точки не лежат на одной прямой.

Обозначим — плоскость, в которой находятся точки .

Очевидно, что при движении жесткой механической системы, в общем случае эта плоскость изменяет свое положение в пространстве.

Лемма 2

Расстояние от точки до плоскости остается постоянным при любых на любых движениях жесткой системы.

Ориентация точки относительно плоскости остается неизменной при любых и любых движениях жесткой системы.

Замечание

Поясним, что понимается под ориентацией точки относительно плоскости .

Обозначим

— нормаль к плоскости в любой момент времени .

Определим ее направление вектором , задаваемым по формуле:

.

Очевидно, в любой момент времени вектор ортогонален плоскости , проходящей через точки (см. рис. 3.1.2).

Рис. 3.1.2

Под ориентацией плоскости понимается направление орта нормали

.

Здесь

,

где

— угол между векторами и .

На любом движении имеем:

• согласно уравнениям связей,

, ;

• согласно лемме 1,

;

• поскольку точки не находятся на одной прямой, то

.

Поэтому

.

Следовательно, вектор может быть вычислен на любом заданном движении жесткой системы в любой момент времени  .

Он определяет положительное и отрицательное полупространства относительно плоскости в соответствии с неравенствами:

• для любой точки , находящейся в положительном полупространстве, выполняется

; (3.1.1)

• для любой точки , находящейся в отрицательном полупространстве, выполняется

. (3.1.2)

Здесь:

• — положение точки , взятой произвольно в абсолютном пространстве в момент времени ,

• — положение фиксированной нами точки жесткой системы в момент времени ; через точку проходит плоскость в любой момент времени .

Будем говорить, что:

Точка имеет положительную (отрицательную) ориентацию по отношению к плоскости в момент времени , если выполняется неравенство (3.1.1) (неравенство (3.1.2)). Точка имеет нулевую ориентацию, если она находится в плоскости , т.е. выполняется равенство

. (3.1.3)

Таким образом, лемма 2 утверждает, что ориентация точки по отношению к плоскости сохраняется при любых  , т.е. если в некоторый момент выполняется одно из условий (3.1.1), (3.1.2), (3.1.3) для вектора

,

то это же самое условие будет выполняться и в любой другой момент времени (независимо от того, какое движение совершает жесткая механическая система).

Доказательство леммы 2

Введем орты по следующим формулам:

, ,

где

.

Эти орты имеют общее начало в точке (см. рис. 3.1.3).

Рис. 3.1.3

Очевидно,

,

. (3.1.4)

Тройка векторов является правой, а векторы — единичные.

Разложим вектор , задающий положение любой точки  механической системы относительно точки , по векторам .

. (3.1.5)

Покажем, что на любых движениях механической системы остаются постоянными.

Умножим на скалярно. Получим, согласно лемме 1,

.

Умножим :

(3.1.5)

на скалярно. Учитывая формулу (3.1.4)

, (3.1.4)

слева получим

.

Скалярные произведения , , согласно лемме 1, остаются постоянными. Поэтому .

Далее, из тождества

,

и из соотношения (3.1.5) следует

.

Отсюда заключаем, что

. (3.1.6)

Поскольку , и векторные функции , непрерывны по времени на любых движениях, то функция также непрерывна на любых движениях. А тогда из непрерывности и тождества (3.1.6) следует, что .

Так как — это расстояние от точки до плоскости , а характеризует ориентацию точки относительно плоскости , то этим доказали справедливость утверждения леммы 2.