2.5 Обробка результатів експерименту

В результаті експерименту одержують рівняння регресії, яке часто називають моделлю процесу:

у = b₀ + b₁  x₁ + b₂  x₂ . (2.3)

З

о розрахункові точки для відгуку без урахування взаємодії факторів ( );

*- експериментальні точки і співпадаючі з ними розрахункові точки з урахуванням взаємодії ( )

1. =40+2,5х₁-17,5х₂;

2) ур''=40+2,5х₁-17,5х₂-8х₁х₂

Рисунок 2.3 - Розміщення площини регресії відносно експериментальних точок

позицій кібернетики під моделлю розуміють не абсолютно точний опис явища (подібно закону), а наближений вираз невідомого закону, який задовільно характеризує явище в деякій локальній області факторного простору.

Для опису досліджуваного явища чи процесу спочатку пробують використати лінійну модель, як найбільш просту (див. (2.3)), а якщо вона виявиться неадекватною, тоді її ускладнюють, тобто підвищують степінь полінома.

Для знаходження коефіцієнтів b_i використовують метод найменших квадратів (МНК).

З геометричної точки зору, у випадку двофакторного експерименту задача полягає в тому, щоб знайти в тримірному просторі рівняння площини, яка, можливо, не пройде через експериментальні точки y_іе, але матиме найменшу суму квадратів відхилень дослідних точок від цієї площини (рис.2.3), тобто має бути

, (2.4)

де у_іе – значення відгуку в і-му досліді (експериментальне),

у_ір – розрахункове значення відгуку для тих же умов.

В розгорнутому вигляді рівняння (2.4) запишеться так:

. (2.5)

В даному прикладі задача знаходження коефіцієнтів зводиться до знаходження мінімуму функції  (b_j) трьох змінних b₀, b₁, b₂ із умов:

(2.6)

або в розгорнутому вигляді

(2.7)

(2.8)

(2.9)

де х_0і – фіктивна змінна, що завжди дорівнює + 1.

Звідси одержимо систему нормальних рівнянь відносно х_0і, х_1і, х_2і:

(2.10)

Ця складна система рівнянь значно спрощується, якщо врахувати наведений нижче ряд властивостей нашої матриці повного факторного експерименту (ПФЕ – експеримент, в якому використані всі можливі сполучення значень факторів; в нашому прикладі – сплавленні p-n-переходів – їх 4).

Властивість ортогональності: сума рядкових добутків елементів будь-яких двох стовпців дорівнює нулю.

Властивість нормування: сума квадратів елементів будь-якого стовпця дорівнює числу різних дослідів (або рядків матриці) N.

Властивість симетрії: алгебраїчна сума елементів будь-якого реального фактора дорівнює нулю (умова балансу додатних та від`ємних значень кожної змінної).

Властивість рототабельності: дисперсії передбачених значень відгуку на рівних відстанях від центру плану постійні та мінімальні.

Враховуючи ці властивості, систему (2.10) можна записати у вигляді:

(2.11)

Звідси легко визначити коефіцієнти рівняння регресії:

,

(2.12)

або в загальному вигляді

,

(2.13)

де j=0; 1; 2 (індекс коефіцієнта), і=1; 2; 3; 4 (номер досліду).

При проведенні n паралельних дослідів в формули (2.11) і (2.13) підставляють середні значення відгуку (для кожного рядка матриці).

Отже, у розглянутому нами прикладі (див. табл.2.2)

b₀ = 1/4  (47 + 68 + 28 + 17) = 40;

b₁ = 1/4  (47  (–1) + 68  (+1) + 28  (–1) + 17  (+1) = 2,5;

b₂ = 1/4  (47  (–1) + 68  (–1) + 28  (+1) + 17  (+1) = -17,5.

І наше рівняння регресії має вигляд:

у = 40 + 2,5  х1 – 17,5  х2 .

(2.14)

З нього видно, що підвищення температури процесу (х₁) та зменшення часу сплавлювання (х₂) ведуть до збільшення проценту виходу якісних p-n - переходів (див. другий дослід у табл.2.2).

Далі за допомогою цього рівняння знаходимо розрахункові значення у_ір функції відгуку для всіх чотирьох наборів факторів (для всіх чотирьох дослідів). Одержані дані записуємо у додаткову графу (колонку, рядок) матриці експерименту, наносимо на графік рис.2.3, з якого бачимо суттєву різницю між експериментальними та розрахунковими даними.

Врахуємо ефект взаємодії факторів, якому в матриці експерименту буде відповідати добуток х₁х₂ (нелінійність типу добутку факторів).

Складемо нову таблицю 2.3, в яку перенесемо дані з табл.2.2 та будемо вносити всі доповнення, що з`являються в процесі обробки результатів експерименту; при цьому значення “1” опустимо, а будемо записувати лише знаки “+” і “–”.

Таблиця 2.3 – Матриця двофакторного експерименту в процесі обробки результатів

№ дос-ліду	Рівні вхідних змінних факторів			Експери-ментальні значення відгуку уе	Розрахункові значення відгуку без урахування взаємодії	Допо-міжна змінна х3=х1х2	Розрахункові значення відгуку з урахуванням взаємодії	Нев`язка
								Без урахування взаємодії	З ураху-ванням взаємо-дії
	x0	x1	x2
1	+	–	–	47	55	+	47	– 8	0
2	+	+	–	68	60	–	68	+ 8	0
3	+	–	+	28	20	–	28	+ 8	0
4	+	+	+	17	25	+	17	– 8	0

Нагадаємо, що х₀ – це фіктивна змінна, яка необхідна лиш для обчислення коефіцієнта b₀ за загальною формулою (2.13) (х₀ завжди приймає значення + 1).

У графу 6 табл.2.3 занесено розрахункові значення відгуку без урахування взаємодії факторів х₁ та х₂ ; у графу 7 – допоміжну змінну х₁ х₂, значення якої знаходимо шляхом перемноження рівнів факторів х₁ та х₂ у відповідних рядках.

Врахувавши ефект взаємодії факторів, замість рівняння (2.3) одержимо нове рівняння

у = b0  x0 + b1  х1 – b2  х2 + b12  х1  x2 ,	(2.15)
або у = b0  x0 + b1  х1 – b2  х2 + b3  х3 ,	(2.16)

де b₃=b₁₂, а х₃=х₁  х₂.

Оскільки графа 7 відповідає умовам ортогональності, нормування та симетрії, коефіцієнт b₃ може бути обчислений як звичайно:

b3 = (1/N)  ( у1 – у2 – у3 + у4 ) ,

(2.17)

Підставивши відповідні значення у_е, одержуємо: b₃= –8.

Замість рівняння (2.14) запишемо нове рівняння регресії

у = 40 +2,5  х1 – 17,5  х2 – 8  х3

(2.18)

та обчислимо нові значення функції відгуку і запишемо їх у графу 8. Порівнявши дані граф 8 і 5, 10 і 9, бачимо, що із врахуванням взаємодії факторів розрахункові ( ) та експериментальні (у_е) значення функції відгуку співпали, а нев`язка зменшилась до нуля.

Отже, за результатами чотирьох дослідів визначено чотири оптимальних, з точки зору МНК, коефіцієнти b₀, b₁, b₂, b₃=b₁₂, включаючи коефіцієнт взаємодії факторів.

Рівняння регресії (2.18) відрізняється від лінійного (2.14) доданком 8х₁х₂.

Результати обробки результатів експерименту ілюструє наведений вище рисунок 2.3.

Позитивні сторони такого планування – простота обробки результатів, висока точність визначення коефіцієнтів регресії, можливість визначення коефіцієнта взаємодії факторів та значне скорочення кількості дослідів у порівнянні з методом однофакторного дослідження складних систем.