Расчетная таблица

х
1	-2,14	4,5796
2	-1,14	1,2996
4	0,86	0,7396
3	-0,14	0,0196
5	1,86	3,4596
3	-0,14	0,0196
4	0,86	0,7396
	×	10,8572

Также расчет можно осуществить через F-критерий Фишера:

.

t_табл =2,57 при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 5.

t_табл < t_b следовательно Н₀ отклоняется, т.е. b и r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х.

Доверительные интервалы примут значения:

;

.

31,21 ≤ b ≤ 42,47.

Значение коэффициента регрессии не проходит через нуль.

Коэффициент корреляции также сформировался под влиянием систематически действующего фактора.

.

t_табл =2,57 при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы 5.

t_табл < t_а следовательно гипотеза Н₀ не отклоняется.

Доверительные интервалы примут значения:

;

.

−25 ≤ а ≤ 13,27.

Таким образом, параметр а проходит через ноль, следовательно подтверждается несущественность параметра.

Рассчитаем доверительный интервал прогноза, чтобы иметь представление о том, какое значение примет теоретическое значение результативного признака при определенном значении х.

Пусть х_пр=4, тогда

.

Доверительный интервал прогноза:

;

.

Диапазон между верхней и нижней границей доверительного интервала составляет 1,13 (150,15:132,99).

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Нелинейные регрессии делятся на два класса:

• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

• регрессии, нелинейные по оцениваемы параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней:

;

• равносторонняя гипербола:

.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных уравнений:

при построении уравнения регрессии вида гиперболы строится и решается следующая система нормальных уравнений:

Для удобства решения прибегают к процедуре линеаризации.

Линеаризация, которая состоит в замене нелинейных объясняющих переменных новыми линейными переменными, приводит нелинейную регрессию к виду линейной. Например, в параболе второй степени: , заменяем переменную х² на z, и получаем двухфакторное уравнение линейной регрессии: .

Полином любого порядка может быть сведен к линейной регрессии с последующим применением методов оценивания параметров и проверки гипотез.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК), выступает равносторонняя гипербола: , которая может быть использована, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов и топлива с объемом выпускаемой продукции.

Линеаризация происходит путем замены на z, что приводит к линейному уравнению регрессии вида: .

Формула критерия Фишера для параболы имеет вид:

,

для гиперболы:

.

Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам представлены ниже:

• степенная – ;

• показательная – ;

• экспоненциальная – .

Класс нелинейных моделей подразделяется на внутренне линейные и внутренне нелинейные. Если линейная модель внутренне линейна, то с помощью соответсвющих преобразований она может быть приведена к линейному виду.

Степенная функция является примером нелинейной по параметрам регрессии. Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, т.к. включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, так как логарифмирование приводит его к линейному виду: .

При исследовании взаимосвязей среди функций, использующих ln y, в эконометрике преобладают степенные зависимости – это кривые спроса и предложения, кривые освоения для характеристики связи между трудоемкостью продукции и масштабами производства в период освоения выпуска нового вида изделий, а также зависимость валового национального дохода от уровня занятости.

Для оценки параметров степенной функции применяется МНК к линеаризованному уравнению , т.е. решается система нормальных уравнений:

Параметр b определяется непосредственно из системы, а параметр a – косвенным путем после потенцирования величины ln a.

Так как в виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и предложения, то обычно параметром b<0 характеризуется эластичность спроса, а параметром b>0 – эластичность предложения.

Если же модель представить в виде:

,

То она становится внутренне нелинейной, так как ее невозможно превратить в линейный вид, то же относится к моделям вида:

,

так как эти уравнения не могут быть преобразованы в уравнения , линейные по коэффициентам.

Ниже представлены формулы расчета коэффициентов эластичности (табл. 1.7).

Таблица 1.7.