Расчетная таблица для определения факторной суммы квадратов отклонений

Теоретические значений результативного признака
31,1	-78,9	6225,21
67,9	-42,1	1772,41
141,6	31,6	998,56
104,7	-5,3	28,09
178,4	68,4	4678,56
104,7	-5,3	28,09
141,6	31,6	998,56
	×	14729,48

Таблица 1.4

Расчетная таблица для определения остаточной суммы квадратов отклонений

Затраты на производство, млн. руб. у	Теоретические значений результативного признака
30	31,1	-1,1	1,21
70	67,9	2,1	4,41
150	141,6	8,4	70,56
100	104,7	-4,7	22,09
170	178,4	-8,4	70,56
100	104,7	-4,7	22,09
150	141,6	8,4	70,56
	×	×	261,48

Таблица 1.5

Расчетная таблица

Источ- ник вариа-ци	Сумма квадратов отклонений	Число степе-ней свобо-ды	Дисперсия на одну степень свободы (средний квадрат отклонений)	F-критерий
Общая		n – 1= =7−1=6		-
Фактор-ная		m – 1= =2−1= =1
Остаточ-ная		n – m= =7−2= =5		-

F_табл=6,61 при уровне значимости равным 0,05 и .

F_табл ‹ F_факт

Следовательно можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии.

Расчет F-критерия Фишера можно также провести следующим образом:

.

В данном случае более высокое значение показателя обусловлено тем, что при расчете значения очень сильно округляются и точность такого способа расчета бает меньше чем расчет через дисперсионный анализ.

Для упрощения расчетов сумм квадратов отклонений также можно использовать следующие формулы:

,

.

где − дисперсия результативного признака.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки:

; .

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициент корреляции определяются по формулам:

,

где S² – остаточная дисперсия на одну степень свободы;

;

Сравнивая фактическое t_факт и критическое (табличное) значения t-статистики t_табл (при определенном уровне значимости и числе степеней свободы (n-2)) – принимаем или отвергаем гипотезу Н₀. Если t_табл < t_факт, то Н₀ отклоняется, т.е. a, b, r_xy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_табл > t_факт, то гипотеза Н₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b, r_xy.

Рассмотренную формулу оценки коэффициента корреляции рекомендуется применять при большом числе наблюдений, а также если r_xy не близко к +1 или –1. Если же величина r_xy близка к +1, то распределение его оценок отличается от нормального, или распределения Стьюдента, так как величина коэффициента корреляции ограничена значения от –1 до +1. Для устранения данного затруднения Р.Фишер ввел вспомогательную величину z, связанную с r_xy следующим соотношением: . При изменении r_xy от –1 до +1 величина z изменятся от до , что соответствует нормальному распределению.

Стандартная ошибка величины z рассчитывается по формуле:

.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

; ; ;

; ; .

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения x_p. Вычисляется стандартная ошибка прогноза :

.

Величина стандартной ошибки достигает минимума при x_p= и возрастает по мере того, как «удаляется» от в любом направлении. Можно ожидать наилучшие результаты прогноза, если признак-фактор находится в центре области наблюдений х.

Доверительный интервал прогноза:

; ; ,

где .

Однако так как фактические значений у варьируют около среднего значения , индивидуальные значения у могут отклоняться от на величину случайно ошибки , дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну степень свободы S². Поэтому ошибка предсказываемого индивидуального значения у должна включать не только стандартную ошибку, но и случайную ошибку. Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения составит:

.

На основе данных примера рассмотрим значения t-критерий Стьюдента.

;

Таблица 1.6