Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) с. в. X называется математическое ожи-
дание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.
Обозначается дисперсия через DХ (или D[X]. Dх, D(Х)). Таким образом, по определению
=
М(Х — МХ)
,
(2.12)
или DХ = МХ , или DХ = М(Х — mx) . Дисперсия характеризует разброс значений с. в. X относительно ее м. о. Из определения диспер- сии следуют формулы для ее вычисления:
ОХ
=
для
д.с.в. Х,
(2.13)
ОХ
=
-
для н.с. в. X.
(2.14)
На практике дисперсию с. в. удобно находить по формуле
ВХ = МХ — (МХ) . (2.15)
Она получается из формулы (2.12): 1)Х = М(X — 2Х * МX + (МX) ) = = МХ — М(2Х * МХ) + М(МХ) = МХ — 2МХ * МХ + (МХ) = = МХ — (МХ) .
Это позволяет записать формулы для ее вычисления ((2.13) и (2.14)) в другом виде:
,
(2.16)
.
(2.17)
Свойства дисперсии.
1. Дисперсия постоянной равна нулю. т. е.
Dc=0
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возве- дя его в квадрат, т. е.
DcX=c DX
3. Дисперсия суммы независимых с. в. равна сумме их дисперсий, т. е. если X и У независимы, то
D(Х + У) = DХ + DУ.
4. Дисперсия с. в. не изменится, если к этой с. в. прибавить постоян- ную, т. е.
D(Х + с) = DХ.
5. Если с. в. X и У независимы, то
D
(ХУ) = МХ
*
МУ
1.
Dс
= М(
2.DсX=
Используя формулу (2.15), получаем
D(Х+У)=М(X+У)
(М(Х+У))
=МХ2
+2MXY+MY
Отметим, что если с. в. X и У зависимы, то
D(Х + У) = DХ + DУ + 2М((Х — МХ) * (У — МУ)).
4. D(с + X) = М((с + X) — М(с + X)) = М(Х — МХ) = DХ. Доказательство свойства 5 не приводим.
Свойства дисперсии, доказанные выше для дискретных случайных величин, остаются справедливыми и для непрерывных с. в.
Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия ОХ имеет размерность квадрата с. в. X, что в сравни- тельных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния) имела размерность с. в., используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение (сокращенно: с. к. о.).
Средним
квадратическим, отклонением или
стандартным откло-
нением с. в. X
называется квадратный корень из ее
дисперсии, обозна-
чают через
(или
).
Таким образом, по определению
(2.18)
Из
свойств дисперсии вытекают соответствующие
свойства с. к. о.:
Для изучения свойств случайного явления, независящих от выбо- ра масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину X приводят к некоторому стандартному виду: ее центрируют, т. е. записывают разность X — МХ (геометрически озна- чает, что начало координат переносится в точку с абсциссой, равной м. о.), затем делят на с. к. о. .
Случайную
величину Z
=
называют стандартной слу-
чайной величиной. Ее м. о. равно 0, а дисперсия равна 1. Действительно,
MZ=M
DZ=
То есть Z — центрированная (МZ = 0) и нормированная. (D7 = 1) случайная величина.
Пример 2.5. Д. с. в. X задана рядом распределения.
X |
-1 |
0 |
1 |
2 |
р |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Найти
МХ,
DХ,
Используем
формулы (2.9), (2.13), (2.18): МХ = —1 * 0,2 + 0 * 0,1
+
+ 1*0,3+2*0,4 = 0,9; DХ
= (—1—0,9)
*0,2
+ (0—0,9)
*0,1
+ (1—0,9)
*0,3+
+
(2—0,9)
*0,4 = 1,29 (или, используя формулу (2.16), DХ
= (—1)
*0,2+
+ 0
* 0,1 + 1
* 0,3 + 2
* 0,4 — (0,9)
= 1,29);
=
