Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величи- ну. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, характеризующие отдельные существенные свойства (черты) закона распределения с. в. Такие чи- сла принято называть числовыми характеристиками с. в.

Важнейшими среди них являются характеристики положения: ма- тематическое ожидание (центр распределения с. в.), мода, медиана; ха- рактеристики рассеяния: дисперсия (отклонение значений с. в. от ее центра), среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины

Математическим ожиданием (или средним значением) д. с. в. X, имеющей закон распределения p_i = Р{ X = х_i}, i = 1,2,3,...,n, назы- вается число, равное сумме произведений всех ее значений на соответ- ствующие им вероятности.

Математическое ожидание (сокращенно: м. о.) обозначается через МХ (или: М , М(Х), ЕХ, m_x , a_x).

Таким образом, по определению

МХ = . (2.9)

Если число возможных значений с. в. X бесконечно (счетно), то

МХ = (2.10)

причем ряд в правой части предполагается сходящимся (в противном

случае с. в. X не имеет м. о.).

Формулы (2.9) и (2.10) можно записать в виде МХ =

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том,

что оно является средним значением с. в. Действительно, т. к. = 1

то

МХ= = =

Математическим ожиданием н.с. в. X с плотностью вероятности f(x), называется число

МХ = . (2.11)

Интеграл в правой части равенства (2.11) предполагается абсолютно сходящимся, т. е. <

(в противном случае н. с. в. X не имеет м. о.).

Формула (2.11) является интегральным аналогом формулы (2.9). Заменяя в ней «прыгающий» аргумент на непрерывно меняющий- ся ж, вероятность — элементом вероятности f(x)dx (f(x)dx= F’(x)dx=dF(x) ≈ DF(x)=F(x+ Dx) —F(x)=P <X< x + D ), получим равенство (2.11).

Отметим, что MX имеет ту же размерность, что и с. в. X. Свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоян- ной, т. е.

Мс = с.

2. Постоянный множитель выносится за знак м. о., т. е.

М(сХ) = сМХ.

3. М. о. суммы с. в. равно сумме их м. о., т. е.

М(Х + У) = MX + MY.

4. М. о. отклонения с. в. от ее м. о. равно нулю, т. е.

М(Х — MX) = 0.

5. М. о. произведения независимых с. в. равно произведению их м. о., т. е. если X и У независимы, то

М(Х * У) = MX * МУ.

1. Постоянную с можно рассматривать как д. с. в. X, принимающую лишь одно значение с вероятностью 1. Поэтому Мс= с * Р{Х = с}= с *1 = с.

2. Так как д. с. в. сХ принимает значения с (i = ) с вероятно- стями , то

МсХ= = с =сMX

3. Так как д. с. в.. Х + У принимает значения вероятностями = Р{ }, то

М (X + У) =

=

При доказательстве воспользовались, в частности, тем, что

= и

Действительно: так как

= = * ,

то

= P ( =

аналогично получаем

Свойство 3 распространяется на произвольное конечное число слагае- мых.

4. Согласно свойствам 1 и 3, имеем: М(Х—МХ)=МХ—М(МХ) = = МX — МХ = 0. Отметим, что разность X — МХ (или X — ) назы- вается отклонением с. в. X от ее м. о. МХ и обозначается символом :

=Х—МХ.

Эта с. в. X называется также центрированной с. в.

5. Так как с. в. X и У независимы, то

Следовательно,

MXY = = = = MX* MY

Свойства м. о., доказанные для д. с. в., остаются справедливы и для непрерывных с. в. Так, например,

McX =

Пример 2.4. В лотерее имеется 1000 билетов, из них выигрышных: 10 по 500 руб. 50 по 50 руб, 100 по 10 руб, 150 по 1 руб. Найти математи- ческое ожидание выигрыша на один билет.

О Ряд распределения с. в. X — суммы выигрыша на один билет таков:

X	500	50	10	1	0
р	0,01	0,05	0,1	0,15.	0,69

(Контроль: )

МХ = 500 • 0,01 + 50 • 0,05 + 10 - 0.1 + 1 • 0,15 + 0 • 0,69 = 8,65 руб. •