Плотность распределения и ее свойства

Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей. Напомним (см. п. 2.3), что: с. в. X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения., плотностью вероятностей или просто плотностью) непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения.

Обозначается плотность распределения н.с. в. X через (или pх(х)) или просто f(x) (или р(х)), если ясно о какой с. в. идет речь. Таким образом, по определению

(2.6)

Функцию f(x) называют также дифференциальной функцией распределения; она является одной из форм закона распределения случайной величины, существует только для непрерывных случайных величин.

Установим вероятностный смысл плотности распределения. Из определения производной следует

Но согласно формуле (2.2), .

Отношение представляет собой среднюю вероятность, которая приходится на единицу длины участка т. е. среднюю плотность распределения вероятности. Тогда

т. е. плотность распределения есть предел отношения вероятности по­ падания с. в. в промежуток [х; х + х) к длине 6х этого промеж утка, когда 6х стремится к нулю. Из равенства (2.7) следует, что

Р {х ≤ Х < х + х} ≈f(x)x

То есть плотность вероятности определяется как функция f(x), удо­ влетворяющая условию Р {х ≤ Х < х + dх} ≈f(x)dx ; выражение f(x) dx называется элементом вероятности.

Отметим, что плотность f(x) аналогична таким понятиям, как плотность распределения масс на оси абсцисс или плотность тока в теории электричества.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:

1 . f(x) неотрицательная, т. е.

2. Вероятность попадания н. с. в. в промежуток [а;b] равна определен- ному интегралу от ее плотности в пределах от а до b, т. е.

Р{а ≤ X ≤ b} = f(x) dx. (2.8)

3. Функция распределения н. с. в. может быть выражена через ее плотность вероятности по формуле

F(x)= f(t) dt.

4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности веро- ятности н. с. в. в бесконечных пределах равен единице, т. е.

f{x)dx = 1.

□ 1. Плотность распределения f(x) — неотрицательная функция:

F(x) — неубывающая функция (п. 2.3), следовательно, F'(x)≥0, т. е. f(x) 0. Это означает, что график плотности f(x), называемый кривой распределения, не ниже оси абсцисс; плотность может принимать сколь угодно большие значения.

2. Так как F(x) есть первообразная для плотности f(x), то по фор- муле Ньютона-Лейбница имеем

f(x)dx = F(b) — F(a).

Отсюда в силу свойства 4 функции распределения (формула (2.2)), по- лучаем

f(x) dx = Р{а X b}.

Геометрически эта вероятность равна площади Б фигуры, ограничен- ной сверху кривой распределения /(ж) и опирающейся на отрезок [а; 6] (рис. 21).

3. Используя свойство 2, получаем:

F(x) = Р{Х < х} = Р{ <Х < х}= f(x) dx = f(t) dt

(буква t, для ясности).

4. Полагая в формуле (2.8) а = и b = , получаем достовер- ное событие X € ( ; ). Следовательно,

f(x) dx = Р{ < X < } = P{ } = 1.

Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения f(x) и осью абсцисс, равна еди- нице.

Можно дать такое определение непрерывной случайной величины: случайная величина X называется непрерывной, если существует не- отрицательная функция f(x) такая, что при любом х функцию распре- деления F(x) можно представить в виде

F(x) = f(t)dt.

А затем получить, что f(x) = F'(x). Отсюда следует, что F(x) и f(x) являются эквивалентными обобщающими характеристиками с. в. X.

Как отмечалось ранее (п. 2.3) для н. с. в. X, вероятность события {X = с}, где с — число, равна нулю. Действительно.

Р{Х = с} = Р{с Х с} = f(x) dx =0

Отсюда также следует, что

Р{Х [a ; b)} = Р{Х [a; b]} = Р{Х (а;Ь)}.

Пример 2.3. Плотность распределения с. в. X задана функцией

f(x)= Найти значение параметра а.

Согласно свойству 4 плотности, имеем

Лекции 3-4. 1

Случайные величины. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. 1

Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения 2

Функция распределения и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины 4

Плотность распределения и ее свойства 11

Числовые характеристики случайных величин 18

Математическое ожидание случайной величины 18

Дисперсия 22

, (2.16) 23

Свойства дисперсии. 23

Среднее квадратическое отклонение 24

Мода и медиана. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Квантили 25

Производящая функция 29