Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
Пусть X - д. с. в., которая принимает значения х1, x2, x3,…, xn,…. (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью рi, где i = 1, 2, 3,…,n,…. Закон распределения д. с. в. удобно задавать с помощью формулы рi = Р{ X = xi}, i = 1,2,3,…, n,…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с. в. X примет значение xi. Для д. с. в. X закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:
X |
x1 |
x2 |
… |
xn |
… |
P |
p1 |
p2 |
… |
pn |
… |
где первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) с. в., а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Так
как события {X = х1},
{X = x2}
… несовместны и образуют
полную
группу, то сумма их вероятностей равна
единице (см. п. 1.12), т. е. 
.
Закон распределения д. с. в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с. в., а на оси ординат — вероятности этих значений. Ломаную, соединяющую последовательно точки (x1,р1), (x2,;p2), ... называют многоугольником (или полигоном) распределения (см. рис. 17).
Рис. 17
Теперь можно дать более точное определение д. с. в.
Случайная величина X дискретна, если существует конечное или счетное множество чисел х1, x2, … таких, что Р{X = xi,} = pi > 0 (i = 1, 2, …) и р1 +р2 + р3 + … = 1.
Определим математические операции над дискретными с. в.
Суммой (разностью, произведением) д. с. в. X, принимающей значения xi с вероятностями рi = Р{ X = хi}, i = 1, 2, …,n и д. с. в. У. принимающей значения yj с вероятностями pj = Р{У = yj}, j = 1, 2, …, m, называется д. с. в. Z = X + У (Z = X – У, Z = X · У), принимающая значения zij = xi + yj (zij = xi – yj, zij = xi · yj) с вероятностями pij = P{X=xi, Y=yj} для всех указанных значений i и j. В случае
совпадения некоторых сумм xi + yj (разностей xi – yj, произведений xiyj) соответствующие вероятности складываются.
Произведение д. с. в. на число с называется д. с. в. сХ, принимающая значения cxi с вероятностями рi = P{X=xi}.
Две д. с. в. X и У называются независимыми, если события {X = xi,} = Ai и {У = yi} = Bj независимы для любых i = 1, 2,…, n;
j = 1,2,…,m, т.е.
В противном случае с. в. называются зависимыми. Несколько с. в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Пример 2.1. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные — черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
О Возможные значения с. в. X — числа белых шаров в выборке есть х1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Вероятности их соответственно будут
Закон распределения запишем в виде таблицы.
X |
0 |
1 |
2 |
3 |
P |
1/56 56 |
15/56 56 |
30/56 56 |
10/56 56 |
(Контроль:
)