Лекции 3-4. Случайные величины. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины.

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Под случайной величиной понимают величину, которая в результа- те опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

Случайные величины (сокращенно: с. в.) обозначаются прописны- ми латинскими буквами Х, Y, Z,… (или строчными греческими буквами ξ (кси), η (эта), θ (тэта), ψ (пси) и т. д.), а принимаемые ими значения

соответственно малыми буквами x₁, x₂, …, y₁, y₂, y₃, ….

Примерами с. в. могут служить: 1) X – число очков, появляющихся при бросании игральной кости; 2) У – число выстрелов до первого попадания в цель; 3) Z - время безотказной работы прибора и т. п. (рост человека, курс доллара, количество бракованных деталей в пар- тии, температура воздуха, выигрыш игрока, координата точки при случайном выборе ее на [0; 1], прибыль фирмы, ...).

Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно: д. с. в.).

Если же множество возможных значений с. в. несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: н. с. в.).

То есть д. с. в. принимает отдельные изолированные друг от дру- га значения, а н. с. в. может принимать любые значения из некоторого промежутка (например, значения на отрезке, на всей числовой прямой и т.д.). Случайные величины X и У (примеры 1) и 2)) являются дискретными. С. в. Z (пример 3)) является непрерывной: ее возможные значения принадлежат промежутку [0,t), где t≥0, правая граница не определена (теоретически t = +∞). Отметим, что рассматриваются также с. в. смешанного типа.

Дадим теперь строгое определение с. в., исходя из теоретико-множественной трактовки основных понятий теории вероятностей.

Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число X(w) т. е. X = X(w), w є Ω (или X = f(w)).

Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. На ПЭС Ω = = {w₁,w₂,w₃,w₄}, где w₁ = ГГ. w₂ = ГР. w₃ = РГ. w₄ = РР, можно рассмотреть с. в. X – число появлений герба. С. в. X является функцией от элементарного события w_i: X(w₁) = 2, X(w₂) = 1, X(w₃)=1, X(w₄) = 0; X — д. с. в. со значениями x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2.

Отметим, что если множество Ω конечно или счетно, то случай- ной величиной является любая функция, определенная на Ω В общем случае функция X(w) должна быть такова, чтобы для любых x є R. событие А = {w : Х(w) < x} принадлежало σ-алгебре множеств S и, значит, для любого такого события была определена вероятность Р(А) = Р(Х < x).

Для полного описания с. в. недостаточно лишь знания ее возможных значений; необходимо еще знать вероятности этих значений.

Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности произвольных событий А C S (S — σ-алгебра событий пространства Ω). в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением). Про с. в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».