Геометрическое распределение

Дискретная с. в. X имеет геометрическое распределение, если ее возможные значения: 1,2,3,4,..., а вероятности этих значений:

(2.27)

где m — 1,2,3,....

Геометрическое распределение имеет с. в. X, равная числу опы- тов в схеме Бернулли, проведенных до первого успеха, с вероятностью успеха р в единичном опыте. Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометрическому закону, являются: число выстре- лов до первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа, число бросаний монеты до первого выпадения решки и т. д.

Ряд распределения случайной величины X, имеющей геометриче- ское распределение, имеет вид

	1	2	3	…
	p	qp		…

Контроль:

Вероятности рт образуют геометрическую прогрессию р, qp, , .... По этой причине распределение (2.27) называют геометриче- ским.

Найдем математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения. Производящей функцией для с. в. X является функ- ция

т.е. . Для нее , Стало

быть,

, (2.28)

т.е , и, значит,

Пример 2.9. Вероятность попадания в цель при отдельном выстре- ле для данного стрелка равна 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию с. в. X числа выстрелов по цели до первого попадания.

о С. в. X имеет геометрическое распределение с параметром р = 0,1. По формулам (2.28): , ( )

Замечание. Геометрическое распределение является частным слу- чаем так называемого распределения Паскаля: , m=1,2,3,…, r >0 – целое; , При r = 1 распределение Паскаля совпадает с геометрическим; при r > 1 — совпадает с распределением суммы независимых с. в., имею- щих геометрическое распределение; при натуральном r оно описывает число опытов в схеме Бернулли, необходимых для того, чтобы получить значение 1 ровно r раз. Распределение Паскаля имеет приложение к статистике несчастных случаев и заболеваний и т. д.

Гипергеометрический закон распределения

Дискретная с. в. X имеет гцпергеометрическое распределение, если она принимает значения 0.1.2.... ,m, .. ,min(n,M) с вероятностями

где m, = 0,1,...,min(n,М), , , ;n,M,N – нату- ральные числа.

Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подоб- ных следующему: в урне N шаров, из них М белых, а остальные черные; из нее вынимается n шаров. Требуется найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет ровно m белых (остальные черные) . Случайная величина X - число белых шаров среди извлеченных из урны.

В п. 1.7 разобран пример 1.6 подобного типа.

Математические ожидания д. с. в. X, имеющей гипергеометриче- ское распределение, есть

(2.30)

а ее дисперсия

(2.31)

Гипергеометрическое распределение определяется тремя параметрами N, М, n. Если n мало по сравнению с N (практически при ), он приближается к биномиальному распределению с параметрами п и

Гипергеометрическое распределение используется при решении задач, связанных с контролем качества продукции (и других). Пример 2.10. В группе из 21 студентов 5 девушек. Из этой группы наудачу отбирается 3 студента. Составить закон распределения д. с.в. X — числа девушек из отобранных студентов. Найти MX.

О С. в. X принимает значения 0.1.2,3. Вероятности этих значений

находим по формуле (2.29): ,

,

Ряд распределения

	0	1	2	3
	0,4211	0,4511	0,1203	0,0075

Значение МХ найдем двумя способами: а)по ряду распределения: МХ = 0 • 0,4211 + 1 • 0,4511 + 2 0,1203 + 3 • 0,0075 = 0,7142; б)по формуле (2.30) •