1. Модели обслуживания вычислительных задач

При наличии пла­на организации вычислительного процесса основная проблема за­ключается в обслуживании заявки, которое характеризуется време­нем пребывания заявки в системе. Это время складывается из времени ожидания в очереди и времени обслуживания, представ­ляющего собой время обработки информации процессором на ос­нове принятой программы. Анализ процесса обслуживания заявки может быть выполнен на основе теории массового обслуживания. Тогда вычислительная система может быть представлена математи­ческой моделью системы массового обслуживания, которая харак­теризуется числом обслуживающих приборов, т. е. ЭВМ, дисципли­ной образования очереди, числом вычислительных задач в ИВЗ, дисциплиной обслуживания очереди с помощью диспетчера Д₂.

В зависимости от того, какое число ЭВМ используется, различают одно- и многолинейные системы. Даже для многолинейной системы может наблюдаться случай, когда все обслуживающие приборы, т. е. ЭВМ, будут заняты. Тогда модель системы может предпола­гать такой поток заявок, который не ждет обслуживания, и возника­ет система с потерями. Физически это возможно либо когда очередь не предусматривается, либо когда имеется полное заполнение оче­реди.

Другая модель системы характеризуется тем, что заявка на решение вычислительной задачи, поступившая в вычислительную систему, может ожидать и покидает ее только после полного об­служивания. В реальных вычислительных системах это оказывается возможным благодаря тому, что предусматриваются очереди O₁-О_N. Так как очередь не может быть не ограниченной, то данная система характеризуется числом заявок, ожидающих начала обслуживания. Возможны дополнительные ограничения на время ожидания, на время пребывания заявки в вычислительной системе и др. Существенное влияние как на параметры обслуживающей системы, так и на процесс ее анализа оказывает характер входящего потока заявок. Заявки от ИВЗ образуют во времени поток, который может иметь ограниченное или неограниченное число задач. Раз­личными могут быть и правила обслуживания заявок, находящихся в очереди. В соответствии с этим устанавливается некоторая дис­циплина обслуживания диспетчером Д₂. Естественной дисциплиной является дисциплина «первым пришел — первым обслужен». Воз­можен инверсный подход: «последним пришел — первым обслу­жен». Допускаются и случайные дисциплины обслуживания, когда заявки из очереди выбираются в произвольном порядке. В ряде случаев заявки обладают приоритетами. Это наиболее характерно для реальных задач ИС, в которых имеются информационные взаимосвязи. Тогда заявки имеют разную степень важности повремени исполнения и каждой заявке присваивается некоторый приоритетный индекс. Заявка с меньшим индексом имеет наиболь­ший приоритет. Для приоритетного обслуживания различают дис­циплины абсолютного, относительного и смешанного приоритетов, абсолютный предполагает прерывание обслуживания заявки при поступлении более приоритетной. При относительном приоритете обслуживание заявки продолжается, а после его завершения на обслуживание принимается поступившая приоритетная заявка, т. е. прерывание обслуживания не допускается. При смешанном приори­тете ЭВМ выбирает либо новую заявку, либо продолжает обслужи­вание предыдущей заявки. Критерием выбора может служить время обслуживания заявки.

В теории массового обслуживания под временем обслуживания понимают время, которое затрачивается на обслуживание одной заявки конкретным обслуживающим прибором (ЭВМ). В общем случае время обслуживания характеризуется определенным законом распределения F(t)=P(t_o6c<t), где Р(t_o6c<t) — вероятность того, что время обслуживания t_o6c<t. При t_o6c≤0 F(t)=0. В зависимости от закона распределения заявки на решение вычислительные задачи могут быть разделены на типы. В рамках одного и того же закона распределения заявки можно различать по среднему времени об­служивания. Время обслуживания реальной заявки на ЭВМ опреде­ляется числом операций, входящих в программу. Существенное влияние на это время оказывает и разветвленность программы. Для слабо разветвленных программ число выполняемых операций прак­тически для каждой задачи одинаково и может быть использована модель с постоянным временем обслуживания. При значительной разветвленной программы в зависимости от типа заявки ее ре­ализация может пойти по разным направлениям, время выполнения программы будет случайной величиной, т. е. реализуется модель с переменным временем обслуживания. Поведение вычислительной системы во времени может быть описано на основе исследования марковского процесса. Тогда удается оценить характеристики си­стемы массового обслуживания аналитическим путем.

Состояние системы массового обслуживания в некоторый мо­мент времени t определяется числом находящихся в ней заявок N(t), где N(t) — это случайная величина, во времени N(t) отображает слу­чайный процесс с дискретными состояниями. Положим, что система находится в состоянии k, если в ней имеется k заявок. Вероятность такого состояния обозначим P_k(t)=P[N(t)=k]. Для любого момента времени t . Переход из состояния i в состояние j опишем с помощью вероятности P_ij(t₁,t₂), если в момент t₁ система находилась в состоянии i, а к моменту t₂ переходит в состояние j.

При t₂-t₁=∆t и ∆t→0 P_ij(∆t)f_ij∆t, где , где f_ij — плотность вероятности перехода. Рассмотрим последовательность переходов системы из состояния в состояние, пользуясь понятием Марковской цепи. Выберем интервал U в пределах t₁<U<t₂.

Тогда

где N — максимальное число заявок в системе. Полагая t₁=0, U=t, t₂=t+, >0, получим

.

Можно составить систему таких уравнений для определенна вероятностей Р_k(t).

Процесс обработки может быть описан такими параметрами, как среднее время поступления и обслуживания заявок, характер распределения этих случайных величин относительно средних значе­ний. Типовые варианты анализа системы могут быть получены для отдельных входных потоков заявок и определенных законов време­ни обслуживания в системе. В большинстве случаев анализ прово­дят для стационарного режима работы системы массового обслу­живания, при котором вероятности нахождения системы в опреде­ленных состояниях не зависят от времени. Рассмотрим отдельные наиболее характерные модели обслуживания.

Экспоненциальный закон времени обслуживания про­стейшего потока заявок. Простейшим называют стационарный ординарный поток без последействия. Обозначим параметр потока, т. е. интенсивность заявок, через , =const. Простейший поток описывается распределением Пуассона, в соответствии с которым вероятность возникновения k заявок за время t составляет

,

где  — интенсивность потока заявок, т. е. количество заявок, по­ступающих за единицу времени.

Среднее число заявок или матема­тическое ожидание числа заявок за время t определяется как

.

Соответственно дисперсия числа заявок за время t

.

Особенностью простейшего потока является то, что при объединении независимых простейших потоков с параметрами ₁, ₂ воз­никает суммарный простейший поток с параметром (₁+₂).

Это обстоятельство позволило широко применять простейший поток в прикладных исследованиях. Такая модель хорошо описывает мно­гие потоки заявок вычислительных задач, которые возникают в ре­альных условиях эксплуатации.

Экспоненциальному закону распределения времени обслужива­ния соответствует плотность распределения вероятности b(t)=e^-t, где  — интенсивность обслуживания; здесь Т_обс — среднее время обслуживания одной заявки. Для составления уравнений, описывающих поведение системы массового обслужива­ния, рассмотрим граф переходов цепи Маркова для данной модели. На рис. 53 представлен размеченный граф состояний однолиней­ной системы обслуживания с очередью.

Отсутствие заявок соответ­ствует узлу 0, максимальное число заявок отображается узлом N. На дугах графа указаны плотности вероятности перехода системы из одного состояния в другое. При анализе процесса обработки необходимо установить вероятности состояний Р_k(t), для этого необходимо составить N+1 линейных дифференциальных уравне­ний с постоянными коэффициентами. Структура уравнений оди­накова: левая часть представляет собой производную вероятности состояния, а правая — включает члены, равные произведению пло­тности вероятности перехода на вероятность того состояния, из которого совершается переход. Число членов в правой части соот­ветствует числу стрелок, входящих и исходящих из рассматрива­емого состояния. Члены, соответствующие исходящим стрелкам, берутся со знаком минус, а соответствующие входящим — со зна­ком плюс. В общем виде уравнение, описывающее k-е состояние системы, может быть представлено как

В соответствии с рассмотренным графом для однолинейной системы обслуживания с очередью получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

.

Условие нормировки вероятностей имеет вид

Для стационарного режима рассмотренная система дифференциальных уравнений превращается в систему алгебраических уравне­ний вида:

.

Из полученной системы алгебраических уравнений нетрудно найти вероятность отсутствия заявок на решение вычислительных задач

.

Вероятность существования в системе k заявок, из которых одна обслуживается ЭВМ, а остальные находятся в очереди, составит

.

При k>N вероятность k-го состояния Р_k=0. Это соответствует случаю переполнения системы, т. е. в очереди имеется N-1 заявок и одна заявка обслуживается ЭВМ (рис. 54). Таким образом, при полной загрузке системы, т. е. наличии в ней N заявок, вновь поступившее требование получает отказ. Поэтому полезно перейти к многолинейному обслуживанию, когда используется N обслужи­вающих приборов (ЭВМ).

Экспоненциальный закон времени обслуживания с по­терями простейшего потока заявок при S обслуживаю­щих приборах. В этом варианте вычислительная система не имеет возможности хранить очередь, поэтому заявки непосредственно через диспетчера Д₂ поступают на одну из S ЭВМ. Число заявок не может превышать 5, поэтому в случае загрузки всех ЭВМ вновь поступающее требование теряется, так как очередь не предусмотрена, а на обслуживание оно не может быть принято. Граф переходов S обслуживающей системы представлен на рис. 55, где в узлах графа указаны состояния «0, 1, ..., S» — по числу заявок в системе, а дуги размечены плотностями вероятностей переходов из одного состояния в другое.

Исходя из этого графа, для установившегося режима запишем алгебраическую систему уравнений в виде

Условие нормировки вероятностей имеет вид . Решая данную систему уравнений, найдем вероятность пребывания вычис­лительной системы в k-м состоянии:

При анализе процесса обработки весьма важно определить веро­ятность потери заявки на решение вычислительной задачи. Потеря заявки имеет место, если заявка поступает в вычислительную систему находящуюся в состоянии S, поэтому

.

Выражение для вероятности Р_k известно в литературе как формула потерь Эрланга. Вероятность отсутствия заявок в системе

Отметим, что вероятность потери заявки может быть умень­шена за счет увеличения интенсивности обслуживания  и числа обслуживающих приборов S.

Для любой системы весьма важным показателем является загрузка , которая показывает среднее число заявок, поступающих в вычислительную систему за среднее время об­служивания одной заявки одной ЭВМ. Стационарный режим имеет место в системе, если <S. Наиболее распространенным вариантом реализации вычислительной системы является много­линейное обслуживание с очередью, к рассмотрению которого и перейдем.

Экспоненциальный закон времени обслуживания про­стейшего потока заявок при S обслуживающих приборах. В этом варианте обслуживания вычислительная система включает S обслуживающих приборов (ЭВМ) и имеет очередь для поступа­ющих заявок с числом мест L. При наличии хотя бы одной свобод­ной ЭВМ поступившая заявка сразу принимается на обслуживание. Если все ЭВМ заняты, то она становится в очередь. Естественной дисциплиной обслуживания является «первым пришел — первым обслужен». По числу заявок система может иметь состояния: «0,1, .... S+L». Граф переходов системы представлен на рис. 56.

В узлах графа, как и ранее, указаны состояния, дуги графа размечены плот­ностями вероятностей переходов. На основании представленного графа запишем алгебраическую систему уравнений оценки вероят­ностей состояний системы для установившегося режима:

.

Условие нормировки вероятностей имеет вид

Решая систему уравнений, определим вероятность нахождения вычислительной системы в k-м состоянии

.

Соответственно вероятность состояния (S+n)

,

где вероятность отсутствия заявок в вычислительной системе

.

Отказ в приеме на обслуживание заявки возникает в случае, когда заняты все ЭВМ и в очереди находится L заявок, т. е.

.

Вероятность потерь из-за отказа в обслуживании уменьшается с увеличением длины очереди и особенно сильно с увеличением числа обслуживающих приборов. При наблюдается умень­шение вероятности потерь на несколько порядков, с приближением к единице это снижение становится менее существенным и на­ходится в пределах одного порядка. Наличие очереди в системе позволяет снизить потери из-за отказа в обслуживании, но вызыва­ет необходимость ожидания заявки в очереди перед началом об­служивания.

Организация очереди в вычислительной системе требует знания ее средней длины. Установим эту величину из условия, что очередь возникает, когда заняты все обслуживающие приборы и в системе имеет место количество заявок от S+1 до S+L. Поэтому

.

Подставляя соответствующие значения вероятностей P_k получим

.

При организации вычислительного процесса существенное значение имеет момент запуска и выпуска решаемой вычислительной задачи, поэтому весьма важно знать время пребывания заявки в очереди (время ожидания T_ож). Потери в эффективности решения вычислительной задачи возникают в случае, когда время ожидания превышает заданное время t, следовательно, необходимо оценить вероятность того, что время ожидания в очереди будет больше некоторого фиксированного значения t. Тогда

.

В этом выражении первая сумма включает вероятности состоя­ний обслуживающей системы от S до S+L, а вторая сумма — веро­ятности обслуживания от 0 до r заявок с помощью S обслужива­ющих приборов за время t. Среднее время ожидания

.

Для процесса обработки критическим может оказаться общее время пребывания заявки в вычислительной системе. Среднее значе­ние времени пребывания требования в системе складывается из среднего значения времени ожидания и среднего значения времени обслуживания:

.

Из приведенных выше соотношений могут быть получены конеч­ные выражения для однолинейной системы с ограниченной очере­дью. Подставляя S=1, находим

.

Потери заявок возникают с вероятностью

.

Соответственно среднее время пребывания заявки в вычисли­тельной системе составит

Теория массового обслуживания позволяет получить аналити­ческие выражения для оценки характеристик вычислительной систе­мы при различных потоках заявок, отдельных законах обслужива­ния, наличии абсолютных и относительных приоритетов. Таким образом, модель обработки данных базируется на процессе об­служивания заявок по решению вычислительных задач. Модель обслуживания разрешается аналитическим либо имитационным ме­тодом на основе теории массового обслуживания. Однако для реальных задач управления необходимо решение вычислительных задач во временной последовательности, зависящей от требования производственного процесса. Стратегия обработки информации в автоматизированных системах должна исходить из того, что для каждой вычислительной задачи существует наиболее благоприятное время ее решения, что приводит к необходимости определения оптимального плана организации вычислительного процесса. Зада­ча может в виде заявки обращаться в вычислительную систему в произвольный момент времени, однако возможности для ее решения должны определяться в соответствии с разработанным планом вычислительного процесса. Поэтому составной частью модели об­работки данных является модель планирования вычислительных работ в системе.