Эмпирическая функция распределения (статистическая функция)

Все важнейшие характеристики случайной величины могут быть получены при известном ее распределении. В задачах математической статистики функция распределения генеральной совокупности чаще всего является неизвестной. Однако, основываясь на выборке, можно построить хорошее приближение для неизвестной функции распределения. Эмпирическую функцию распределения выборки строят так:

,

где - число значений выборки, меньших x.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки, интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между и состоит в том, что - вероятность события (теоретическая, предсказанная до наблюдения за событием), а - относительная частота совершившихся события.

Мы знаем, что . Значит, можно использовать эмпирические функции распределения выборки для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности. При этом у эмпирической функции те же свойства, что у функции :

1. . Т.к. вероятность всегда меньше 1 и больше 0.

2. - неубывающая функция, т.е. , если .

Пример:

xi	2	6	10
ni	12	18	30

Объем выборки n=12+18+30=60.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

График этой функции

Статистические оценки параметров распределения.

При обработке опытных данных вид функции (закона) распределения часто заранее известен, и требуется найти некоторые параметры, от которых он зависит. Например, если закон распределения нормальный, то необходимо оценить два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. Если закон распределения показательный, то необходимо оценить значение . Об этом будет сказано ниже.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки .

Для оценки математического ожидания нормального распределения используют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности

,

где - частоты, . Ясно, что .

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности

,

где - частоты, .

Замечание. Выборочная средняя может изменятся от выборки к выборке. Т.е. выборочную среднюю можно рассматривать как случайную величину, следовательно, можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения. В частности о математическом ожидании и дисперсии.

Ясно, что математическое ожидание есть , т.е. .

Определение. Генеральной дисперсией называют

.

- генеральное среднее квадратическое отклонение.

Пример: Задана генеральная совокупность

xi	2	4	5	6
ni	8	9	10	3

,

.

Определение: Выборочной дисперсией называют

.

- выборочное среднее квадратическое отклонение.

Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n.

-значение признака

- частоты,

причем .

Требуется по данным выборки оценить неизвестную дисперсию .

Известно, что если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет давать заниженное значение генеральной дисперсии, т.к. , а хотелось бы, чтобы .

Поэтому выборочную дисперсию исправляют следующим образом

.

При этом

.

Эти оценки дисперсии называют смещенной и несмещенной соответственно.

Для оценки среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют “исправленное” выборочное среднее квадратическое отклонение:

.

Замечание. Сравнивая формулы и видим, что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, что при увеличении n и отличаются все меньше. На практике используют исправленную дисперсию, если n<30.