Леонард эйлер

(1707—1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: мате­матиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и из­дания своих трудов. Он работал с ув­лечением и вскоре стал, по единодуш­ному признанию современников, первым математиком мира. Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого за­нимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и ин­тегральному счислениям.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского матема­тика П. Ферма и доказал ряд утверж­дений: малую теорему Ферма, вели­кую теорему Ферма для показателей 3 и 4. Он сформулировал проблемы, кото­рые определили горизонты теории чисел на десятилетия. Эйлер предложил применить в тео­рии чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области ма­тематического анализа. Здесь он постоян­но пользуется комплексными числами. Его имя носит формула е^ix = cos x + i·sin x, уста­навливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел. Ученый впервые разработал общее уче­ние о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное мно­жество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоя­тельную науку – топологию. Имя Эйлера носит формула, связы­вающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: В-Р+Г=2.

У Эйлера были труды по гидравлике, кораблестроению, артилле­рии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналити­ческое изложение механики вместо гео­метрического изложения Ньютона, строит механику твердого тела, а не только мате­риальной точки или твердой пластины. Одно из самых замечательных дости­жений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притя­жения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интен­сивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее гро­моздкие вычисления.

Кружковые занятия по математике.

Математический кружок – это форма организации внеклассной работы по математике, при которой учитель и учащиеся выбирают вид, тему занятий по собственному желанию.

Выбор кружка производится в соответствии с интересами учащихся. На одном из первых занятий решаются организационные вопросы – выбирается староста, помощник и т.д. Все остальные темы могут быть не связаны между собой. Целесообразно первое занятие посвятить экскурсу в историю математики (история развития математики, каких-то понятий или биография известного учёного математика, его вклад в науку.)

Планирование занятий математического кружка на учебный год.

(1 занятие в 2 недели). Алгебра , 7класс.

1. Организационное собрание.

2. – 3. Занятие, посвященное жизни и творчеству Н. И. Лобачевского.

4. О комбинаторных задачах.

5. – 6. Введение в комбинаторику.

7. Выборки объема n.

8. Перестановки из n элементов.

9. Размещения из n элементов по k элементам.

10. Число k слов n буквенного алфавита.

11. – 12. Сочетания из n элементов по k элементам.

13. – 14. Сочетания из n элементов по k элементам с повторениями.

15. Треугольник Паскаля.

16. Подведение итогов работы кружка.

Занятие 1. ( 13 сентября, 2007 года )

Организационное собрание:

1. Выбор старосты.

2. Обсуждение тем кружка.

Занятие 2 – 3. ( 27 сентября – 11 октября, 2007 года )

Занятие, посвященное жизни и творчеству Н. И. Лобачевского:

1. Краткая биография Н. И. Лобачевского.

2. Из воспоминаний современников о Н. И. Лобачевском.

3. Геометрия Н. И. Лобачевского.

Занятие 4. ( 25 октября, 2007 года )

О комбинаторных задачах:

1. Теоретическая часть.

2. Решение задач.

Конспект 4-го занятия математического кружка:

Этот раздел является продолжением занятия кружка в 6-м классе по теме «Элементы теории вероятности». Объяснение нового материала рекомендуется вести на примерах задач. На занятиях кружка в 6-м классе мы, рассматривая некоторые вопросы теории вероятностей, отметили, что для вычисления вероятности того или иного события необходимо уметь подсчитывать количество способов расположения элементов, выпадения определенного условия и т.д. Этими вопросами занимается раздел математики – комбинаторика, в котором изучаются различные вопросы, связанные с взаимным расположением частей данного множества, состоящего обычно из конечного числа элементов.

Комбинаторные задачи обладают общей особой приметой. Этой приметой является вопрос задачи, который всегда можно сформулировать так, что он будет начинаться словами: «Сколькими способами …?». Комбинаторные задачи различаются по подходам к решению. Рассмотрим некоторые основные комбинаторные идеи, лежащие в основе решения некоторых из них.

Рассмотрим первый вид задач на примере:

Задача 1.: В магазине «Ткани» имеются ткани четырех расцветок и шесть видов отделки к ним. Сколькими способами можно купить ткань и отделку для платья?

Решение: Сначала выберем ткань, это можно сделать четырьмя способами. В комплект к ней (к каждому из четырех способов) можно подобрать шестью способами отделку, т. е. можно подобрать четыре раза по шесть комплектов: 4•6 = 24. Всего существует 24 способа.

Ответ: 24 способа.

При решении такого вида задач применяется правило произведения:

Пусть нам даны k множеств по n₁, n₂, n₃, n₄,... ,n_k элементов каждое, и нам нужно произвести выбор по одному в каждом из множеств, тогда число возможных способов находим так: N = n₁ ∙ n₂ ∙ n₃ ∙ n₄ ...∙ n_k.

Решение упражнений:

1. В магазине «Сувениры» имеются подсвечники шести видов и три вида вазочек к ним. Сколькими способами можно составить подарочный комплект из подсвечника и вазочки?

Решение: Вазочку можно выбрать шестью способами и к каждой вазочке тремя способами можно подобрать подсвечник: 6•3 = 18 способов.

Ответ: 18 способов.

2. В магазине «Все для чая» имеются в продаже шесть видов разных чашек, пять видов блюдец и три вида ложек. Сколькими способами можно составить набор из трех предметов?

Решение: Чашку можно выбрать шестью способами, к каждой из шести чашек можно подобрать пятью способами блюдце, к каждому из 30 комплектов чашки с блюдцем можно подобрать тремя способами ложку:

6•5•3 = 90 способов.

Ответ: 90 способов.

3. От Гулливера в страну Лилипутов ведут три секретные дороги, а в страну Великанов – четыре. Сколькими способами Гулливеру можно попасть в страну Великанов?

Решение: 3•4 = 12 способов

Ответ: 12 способов.

4. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску черную и белую ладьи, чтобы они не били друг друга?

Решение: Первую ладью можно поставить на любое из 64 полей. В этом положении ладья будет бить 15 полей (включая то, на котором она стоит). Следовательно, вторую ладью можно поставить 64 – 15 = 49 способами. Всего имеем 64•49 = 3136 способов.

Ответ: 3136 способов.