§5. Свойства сходящихся рядов (в свете абсолютной и условной сходимости)

Приведем без доказательства следующие свойства.

1⁰. (Сочетательность)

Если ряд сходится, то скобки при суммировании можно расставлять произвольным образом, например, .

2⁰. (Переместительность)

Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой его членов, тоже сходится абсолютно и имеет ту же сумму.

Теорема 2. (теорема Римана). Если ряд сходится условно, то для любого числа , ( в том числе ) можно так переставить слагаемые что сумма нового ряда будет равна (или ряд будет расходиться).

Покажем на примере, что такое перестановка членов ряда и как получается, что новый ряд имеет другую сумму. Возьмем ряд

. Обозначим его частичные суммы . Переставим члены следующим образом

Найдем частичные суммы этого ряда, с номерами, кратными 3:

3⁰. (Умножение рядов)

П роизведением рядов и называют ряд, составленный из всевозможных произведений . Используется удобная запись:

Итак, = .

Теорема 3. (Теорема Коши)

Если ряды и сходятся абсолютно, то их произведение также сходится, причем его сумма равна произведению сумм данных рядов.

§6. Приближенное суммирование рядов

Пусть дан сходящийся ряд и требуется найти его сумму. Как правило, точное значение найти невозможно, поэтому в качестве приближенного значения суммы берут значение некоторой частичной суммы . Разность называется точностью или погрешностью приближения.

Задача ставится следующим образом:

Найти значение суммы ряда с точностью (погрешностью) (0.01, 0.0001 и т.д.). Это означает, следует найти такой номер , начиная с которого . (И, конечно, вычислить ).