
- •Раздел V. Ряды
- •§1. Определение числового ряда. Примеры
- •§2. Простейшие свойства сходящихся рядов
- •§3. Признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Признак сравнения в предельной форме
- •Признак Даламбера.
- •Признак Коши.
- •Интегральный признак
- •§4. Сходимость знакопеременных рядов
- •§5. Свойства сходящихся рядов (в свете абсолютной и условной сходимости)
- •§6. Приближенное суммирование рядов
Интегральный признак
Теорема
5.
Пусть общий член ряда
задан в виде
,
где функция
определена, монотонно убывает и непрерывна
при
, т.е.
.
Тогда сходимость ряда эквивалентна
сходимости несобственного интеграла
.
(Напомним,
что по определению несобственного
интеграла
).
Доказательство.
Обозначим
.
Как известно, если
непрерывна, то
.
Введем вспомогательный ряд
.
(*)
Найдем
частичные суммы этого ряда:
.
Далее
применим к функции
формулу Лагранжа на отрезке
:
,
где
.
По условию, монотонно убывает, поэтому верны неравенства
.
(**)
Пусть
теперь интеграл
сходится, т.е. существует конечный предел
,
тогда вспомогательный ряд (*) сходится
. Рассмотрим левую часть неравенства
(**). Она показывает, что ряд
сходится по признаку сравнения.
Если же интеграл расходится, то расходится вспомогательный ряд (*), и правая часть неравенства (**) показывает, что расходится и ряд . ■
Примеры.
. Найдем
.
Ряд расходится.
2).
.
Этот ряд сходится по интегральному
признаку (показать самостоятельно).
§4. Сходимость знакопеременных рядов
10. Будем рассматривать ряд
(А) ,
члены которого могут быть как положительными, так и отрицательными. Наряду с рядом (А) рассмотрим ряд с неотрицательными членами
(А*)
.
Теорема 1 .
Если ряд (А*) сходится, то сходится и ряд (А).
Доказательство.
Построим два вспомогательных положительных ряда
(Р)
(Q)
Каждый из рядов (Р) и (Q) сходится, т.к. их частичные суммы не превышают частичных сумм ряда (А*), значит, они ограничены, и ряды сходятся по достаточному признаку сходимости положительных рядов. Нетрудно видеть, что
=
.
Поэтому ряд (А) как разность двух сходящихся рядов сходится. ■
Определение. Ряд (А) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (А*). Если же ряд (А*) расходится, а ряд (А) сходится, то он называется условно сходящимся.
20. Знакочередующиеся ряды.
Определение. Ряд
(С)
,
где все
называется знакочередующимся.
Теорема 2. (Признак Лейбница)
Пусть для ряда (С) выполнены условия:
Тогда ряд (С) сходится.
Доказательство.
Сначала рассмотрим поведение частичных сумм ряда (С) с четными номерами
Так
как
,
,
то выражения во всех скобках положительны,
и поэтому
и
возрастают. С другой стороны,
,
что означает ограниченность
.
Итак,
частичные суммы с четными номерами
возрастают и ограничены сверху
.
Частичные
суммы с нечетными номерами
и при
,
поэтому
.
■
Примеры.
Рассмотрим знакопеременный ряд
. Верно неравенство
.
Так
как ряд
сходится, то сходится ряд
ряд
сходится абсолютно.
2).
Знакочередующийся ряд
очевидно удовлетворяет условиям
признака Лейбница
он сходится. С другой стороны, ряд из
модулей
расходится
ряд
сходится условно.
Введем
понятие скорости сходимости сходящегося
ряда. Пусть
.
Для любого остатка
можно
записать
.
Как было показано,
,
т.е.
является бесконечно малой при
.
Порядок малости назовем скоростью
сходимости ряда. Рассмотрим сумму
бесконечно убывающей прогрессии
.
Остаток
.
Говорят, что скорость сходимости
соответствует
.
Любой сходящийся знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, также позволяет узнать скорость его сходимости.
Имеем
Теорема 3. (Оценка остатка знакочередующегося ряда)
Модуль
остатка знакочередующегося ряда не
превышает модуля первого отброшенного
члена,
и имеет его знак, т.е. знак
.
Доказательство.
Рассмотрим
сначала остаток с номером
.
Теперь вспомним доказательство признака
Лейбница ─ частичные суммы с четными
номерами больше 0 и меньше первого члена,
более того, сумма ряда также больше 0 и
меньше первого члена . Значит,
Пусть
теперь
или
Ясно,
что
и
отрицателен. ■