5. Интегральный признак

Теорема 5. Пусть общий член ряда задан в виде , где функция определена, монотонно убывает и непрерывна при , т.е. . Тогда сходимость ряда эквивалентна сходимости несобственного интеграла .

(Напомним, что по определению несобственного интеграла ).

Доказательство.

Обозначим . Как известно, если непрерывна, то . Введем вспомогательный ряд

. (*)

Найдем частичные суммы этого ряда: .

Далее применим к функции формулу Лагранжа на отрезке :

, где .

По условию, монотонно убывает, поэтому верны неравенства

. (**)

Пусть теперь интеграл сходится, т.е. существует конечный предел , тогда вспомогательный ряд (*) сходится . Рассмотрим левую часть неравенства (**). Она показывает, что ряд сходится по признаку сравнения.

Если же интеграл расходится, то расходится вспомогательный ряд (*), и правая часть неравенства (**) показывает, что расходится и ряд . ■

Примеры.

1. . Найдем

.

Ряд расходится.

2). . Этот ряд сходится по интегральному признаку (показать самостоятельно).

§4. Сходимость знакопеременных рядов

1⁰. Будем рассматривать ряд

(А) ,

члены которого могут быть как положительными, так и отрицательными. Наряду с рядом (А) рассмотрим ряд с неотрицательными членами

(А*) .

Теорема 1 .

Если ряд (А*) сходится, то сходится и ряд (А).

Доказательство.

Построим два вспомогательных положительных ряда

(Р)

(Q)

Каждый из рядов (Р) и (Q) сходится, т.к. их частичные суммы не превышают частичных сумм ряда (А*), значит, они ограничены, и ряды сходятся по достаточному признаку сходимости положительных рядов. Нетрудно видеть, что

= .

Поэтому ряд (А) как разность двух сходящихся рядов сходится. ■

Определение. Ряд (А) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (А*). Если же ряд (А*) расходится, а ряд (А) сходится, то он называется условно сходящимся.

2⁰. Знакочередующиеся ряды.

Определение. Ряд

(С) , где все называется знакочередующимся.

Теорема 2. (Признак Лейбница)

Пусть для ряда (С) выполнены условия:

1. 

2. 

3. 

Тогда ряд (С) сходится.

Доказательство.

Сначала рассмотрим поведение частичных сумм ряда (С) с четными номерами

Так как , , то выражения во всех скобках положительны, и поэтому и возрастают. С другой стороны,

, что означает ограниченность .

Итак, частичные суммы с четными номерами возрастают и ограничены сверху .

Частичные суммы с нечетными номерами и при , поэтому . ■

Примеры.

1. Рассмотрим знакопеременный ряд . Верно неравенство .

Так как ряд сходится, то сходится ряд ряд сходится абсолютно.

2). Знакочередующийся ряд очевидно удовлетворяет условиям признака Лейбница он сходится. С другой стороны, ряд из модулей расходится ряд сходится условно.

Введем понятие скорости сходимости сходящегося ряда. Пусть . Для любого остатка можно записать . Как было показано, , т.е. является бесконечно малой при . Порядок малости назовем скоростью сходимости ряда. Рассмотрим сумму бесконечно убывающей прогрессии . Остаток . Говорят, что скорость сходимости соответствует .

Любой сходящийся знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, также позволяет узнать скорость его сходимости.

Имеем

Теорема 3. (Оценка остатка знакочередующегося ряда)

Модуль остатка знакочередующегося ряда не превышает модуля первого отброшенного члена, и имеет его знак, т.е. знак .

Доказательство.

Рассмотрим сначала остаток с номером

. Теперь вспомним доказательство признака Лейбница ─ частичные суммы с четными номерами больше 0 и меньше первого члена, более того, сумма ряда также больше 0 и меньше первого члена . Значит,

Пусть теперь

или

Ясно, что и отрицателен. ■