
- •Кафедра высшей математики
- •Введение
- •1. Исходные данные
- •2. Отсортированные по х данные
- •3. Статистическое описание результатов наблюдений для св X
- •4. Статистическое описание результатов наблюдений для св y
- •5. Числовые характеристики, рассчитанные по интервальному ряду для св х
- •6. Числовые характеристики, рассчитанные по интервальному ряду для св y
- •7. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности х
- •8. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности y
- •9. Проверка гипотезы о виде распределения для св х
- •10. Проверка гипотезы о виде распределения для св y
- •11. Определение эмпирической зависимости между св х и y
- •12. Проверка значимости коэффициента корреляции
- •13. Построение линейного приближения к линиям регрессии
- •14. Прогноз результативного признака
- • Список использованной литературы
6. Числовые характеристики, рассчитанные по интервальному ряду для св y
Находим статистические числовые характеристики по следующим формулам.
Оценку статистического среднего находим по формуле (для сгруппированных по разрядам данным)
,
где
значения
– представители разрядов – рассчитываются
по формуле
.
Оценку статистической дисперсии рассчитываем по формуле
(для сгруппированных данных).
Исправленную
дисперсию рассчитываем по формуле
.
Статистическое среднее квадратическое отклонение и исправленное среднее квадратическое отклонение по определению равны
,
.
Эти
величины характеризует рассеивание
значений СВ относительно
и имеют размерность СВ Y.
Рассеивание
СВ также характеризуется статистическим
коэффициентом вариации
:
.
Медиану определяем по формуле
Мода * – варианта, соответствующая наибольшей частоте. Итак, Ме* = 45; Мо* = 43.
Все полученные данные заносим в таблице 6.
Таблица 6
Математическое ожидание |
= |
45,07 |
Дисперсия |
D*y = |
22,07 |
Исправленная дисперсия |
|
22,36 |
Среднее квадратическое отклонение |
y* = |
4,698 |
Исправленное среднее квадратическое отклонение |
sy = |
4,72 |
Kоэффициент вариации |
vy* = |
10 % |
Мода |
Мо* = |
43 |
Медиана |
Ме* = |
45 |
Так как коэффициент вариации v*х = 10 % < 33 %, то выборка однородная.
7. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности х
Доверительный интервал для математического ожидания CB X построим по формуле
,
где
;
= 79,78; sx
= 11,26;
При = 0,95 точность оценки для х
х
=
= 2,18;
доверительный интервал для mx
77,6 < mх < 81,96.
При = 0,9 точность оценки для х
х
=
= 1,85;
доверительный интервал для mx
77,93 < mх < 81,63.
Следовательно, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что математическое ожидание СВ Х находится в интервале (77,93; 81,63).
8. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности y
Доверительный интервал для математического ожидания СВ Y построим по формуле
,
где
;
= 45,07; sy
= 4,72.
При = 0,95 точность оценки для у
у
=
= 0,93;
доверительный интервал для mу
44,14 < mу < 46,0.
При = 0,9 точность оценки для у
у
=
= 0,77;
доверительный интервал для mу
44,3 < mу < 45,84.
Следовательно, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что математическое ожидание СВ Y находится в интервале (44,3; 45,84).
9. Проверка гипотезы о виде распределения для св х
Выдвинем нулевую и конкурирующие гипотезы о виде закона распределения СВ Х.
Н0: «СВ Х имеет нормальный закон распределения». Н1: «СВ Х имеет закон распределения отличный от нормального».
Из условия задачи ясно, что точные значения параметров (математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение ) гипотетического нормального закона неизвестны и их придется заменять точечными оценками.
Пронормируем
Х,
т. е. перейдем к СВ Z
такой, что
и вычислить
z
в концах интервалов:
,
причем
.
Вычислим
теоретические частоты
,
где
,
причем
.
Полученные данные занесем в таблицу 7.
Интервалы,
содержащие
объединим, а частоты сложим.
Сравним
эмпирические и теоретические частоты
с помощью критерия Пирсона. Для этого
надо составить таблицу 8 и вычислить
наблюдаемое значение
по формуле
Таблица 8
m |
1 |
3 |
13 |
10 |
17 |
18 |
14 |
13 |
8 |
3 |
100 |
объед. m |
|
|
17 |
10 |
17 |
18 |
14 |
13 |
11 |
|
100 |
объед. np |
|
|
13,19 |
12,99 |
17,54 |
18,9 |
16,24 |
11,14 |
10,01 |
|
100 |
m – npi |
|
|
5,32 |
–2,99 |
0,54 |
–0,9 |
–2,24 |
1,86 |
0,99 |
|
0 |
(m – npi)2 |
|
|
28,302 |
8,94 |
0,292 |
0,81 |
5,017 |
3,459 |
0,98 |
|
|
(m – npi)2 / npi |
|
|
3,685 |
0,688 |
0,017 |
0,043 |
0,309 |
0,311 |
0,098 |
|
2,792 |
По
таблицам критических точек распределения
Пирсона найдем
(k
= s
– 3) при
= 0,01 и
= 0,05 и сравним с
.
Здесь s
– количество разрядов. В нашем случае
s
= 7.
По таблице распределения Пирсона находим
=
2,79;
= 13,3; 2
(0,05; 4) = 9,49
и
,
следовательно, нет оснований отвергать
гипотезу о нормальном законе распределения
СВ Х при
уровнях значимости
= 0,01 и
= 0,05. Расхождения между эмпирическими
и теоретическими частотами незначимо
(случайно) при
обоих уровнях значимости.
Теоретические графики плотности и функции нормального распределения приведены на рисунках 1, 2 (по данным таблицы 7).
Таблица 7
ai – 1 |
–100000 |
56,4 |
61,8 |
67,2 |
72,6 |
78 |
83,4 |
88,8 |
94,2 |
99,6 |
ai |
56,4 |
61,8 |
67,2 |
72,6 |
78 |
83,4 |
88,8 |
94,2 |
99,6 |
100000 |
mi |
1 |
3 |
13 |
10 |
17 |
18 |
14 |
13 |
8 |
3 |
|
–0,5 |
–0,4649 |
–0,4082 |
–0,3023 |
–0,1443 |
0,0714 |
0,2224 |
0,3577 |
0,4394 |
0,4788 |
|
–0,467 |
–0,408 |
–0,303 |
–0,144 |
0,071 |
0,222 |
0,357 |
0,439 |
0,478 |
0,5 |
|
0,0189 |
0,0362 |
0,0768 |
0,1299 |
0,1754 |
0,189 |
0,1624 |
0,1114 |
0,061 |
0,0391 |
|
1,89 |
3,62 |
7,68 |
12,9 |
17,5 |
18,9 |
16,2 |
11,1 |
6,1 |
3,91 |
|
0 |
0,0189 |
0,0551 |
0,1318 |
0,2617 |
0,4371 |
0,6261 |
0,7885 |
0,8999 |
0,9609 |
|
0,0024 |
0,0066 |
0,0141 |
0,0241 |
0,0327 |
0,0353 |
0,0303 |
0,0206 |
0,0112 |
0,0048 |
Таблица 9
bj – 1 |
–100000 |
56,4 |
61,8 |
67,2 |
72,6 |
78 |
83,4 |
88,8 |
94,2 |
99,6 |
bj |
56,4 |
61,8 |
67,2 |
72,6 |
78 |
83,4 |
88,8 |
94,2 |
99,6 |
100000 |
mj |
1 |
3 |
13 |
10 |
17 |
18 |
14 |
13 |
8 |
3 |
|
–0,5 |
–0,4649 |
–0,4082 |
–0,3023 |
–0,1443 |
0,0714 |
0,2224 |
0,3577 |
0,4394 |
0,4788 |
|
–0,467 |
–0,408 |
–0,303 |
–0,144 |
0,071 |
0,222 |
0,357 |
0,439 |
0,478 |
0,5 |
|
0,0189 |
0,0362 |
0,0768 |
0,1299 |
0,1754 |
0,189 |
0,1624 |
0,1114 |
0,061 |
0,0391 |
|
1,89 |
3,62 |
7,68 |
12,9 |
17,5 |
18,9 |
16,2 |
11,1 |
6,1 |
3,91 |
|
0 |
0,0189 |
0,0551 |
0,1318 |
0,2617 |
0,4371 |
0,6261 |
0,7885 |
0,8999 |
0,9609 |
|
0,0024 |
0,0066 |
0,0141 |
0,0241 |
0,0327 |
0,0353 |
0,0303 |
0,0206 |
0,0112 |
0,0048 |