Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
rgr3.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
1.03 Mб
Скачать

6. Числовые характеристики, рассчитанные по интервальному ряду для св y

Находим статистические числовые характеристики по следующим формулам.

Оценку статистического среднего находим по формуле (для сгруппированных по разрядам данным)

,

где значения – представители разрядов – рассчитываются по формуле

.

Оценку статистической дисперсии рассчитываем по формуле

(для сгруппированных данных).

Исправленную дисперсию рассчитываем по формуле .

Статистическое среднее квадратическое отклонение и исправленное среднее квадратическое отклонение по определению равны

, .

Эти величины характеризует рассеивание значений СВ относительно и имеют размерность СВ Y.

Рассеивание СВ также характеризуется статистическим коэффициентом вариации :

.

Медиану определяем по формуле

Мода * – варианта, соответствующая наибольшей частоте. Итак, Ме* = 45; Мо* = 43.

Все полученные данные заносим в таблице 6.

Таблица 6

Математическое ожидание

=

45,07

Дисперсия

D*y =

22,07

Исправленная дисперсия

=

22,36

Среднее квадратическое отклонение

y* =

4,698

Исправленное среднее

квадратическое отклонение

sy =

4,72

Kоэффициент вариации

vy* =

10 %

Мода

Мо* =

43

Медиана

Ме* =

45

Так как коэффициент вариации v*х = 10 % < 33 %, то выборка однородная.

7. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности х

Доверительный интервал для математического ожидания CB X построим по формуле

,

где ; = 79,78; sx = 11,26;

При  = 0,95 точность оценки для х

х = = 2,18;

доверительный интервал для mx

77,6 < mх < 81,96.

При  = 0,9 точность оценки для х

х = = 1,85;

доверительный интервал для mx

77,93 < mх < 81,63.

Следовательно, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что математическое ожидание СВ Х находится в интервале (77,93; 81,63).

8. Построение доверительных интервалов для нормально распределенной совокупности y

Доверительный интервал для математического ожидания СВ Y построим по формуле

,

где ; = 45,07; sy = 4,72.

При  = 0,95 точность оценки для у

у = = 0,93;

доверительный интервал для mу

44,14 < mу < 46,0.

При  = 0,9 точность оценки для у

у = = 0,77;

доверительный интервал для mу

44,3 < mу < 45,84.

Следовательно, с вероятностью 0,9 можно утверждать, что математическое ожидание СВ Y находится в интервале (44,3; 45,84).

9. Проверка гипотезы о виде распределения для св х

Выдвинем нулевую и конкурирующие гипотезы о виде закона распределения СВ Х.

Н0: «СВ Х имеет нормальный закон распределения». Н1: «СВ Х имеет закон распределения отличный от нормального».

Из условия задачи ясно, что точные значения параметров (математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение ) гипотетического нормального закона неизвестны и их придется заменять точечными оценками.

Пронормируем Х, т. е. перейдем к СВ Z такой, что и вычислить z в концах интервалов: , причем .

Вычислим теоретические частоты , где , причем . Полученные данные занесем в таблицу 7.

Интервалы, содержащие объединим, а частоты сложим.

Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого надо составить таблицу 8 и вычислить наблюдаемое значение по формуле

Таблица 8

m

1

3

13

10

17

18

14

13

8

3

100

объед. m

17

10

17

18

14

13

11

100

объед. np

13,19

12,99

17,54

18,9

16,24

11,14

10,01

100

m – npi

5,32

–2,99

0,54

–0,9

–2,24

1,86

0,99

0

(m – npi)2

28,302

8,94

0,292

0,81

5,017

3,459

0,98

=

(m – npi)2 / npi

3,685

0,688

0,017

0,043

0,309

0,311

0,098

2,792

По таблицам критических точек распределения Пирсона найдем (k = s – 3) при  = 0,01 и  = 0,05 и сравним с . Здесь s – количество разрядов. В нашем случае s = 7.

По таблице распределения Пирсона находим

 = 2,79; = 13,3; 2 (0,05; 4) = 9,49  и , следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном законе распределения СВ Х при уровнях значимости  = 0,01 и  = 0,05. Расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами незначимо (случайно) при обоих уровнях значимости.

Теоретические графики плотности и функции нормального распределения приведены на рисунках 1, 2 (по данным таблицы 7).

Таблица 7

ai1

–100000

56,4

61,8

67,2

72,6

78

83,4

88,8

94,2

99,6

ai

56,4

61,8

67,2

72,6

78

83,4

88,8

94,2

99,6

100000

mi

1

3

13

10

17

18

14

13

8

3

–0,5

–0,4649

–0,4082

–0,3023

–0,1443

0,0714

0,2224

0,3577

0,4394

0,4788

–0,467

–0,408

–0,303

–0,144

0,071

0,222

0,357

0,439

0,478

0,5

0,0189

0,0362

0,0768

0,1299

0,1754

0,189

0,1624

0,1114

0,061

0,0391

1,89

3,62

7,68

12,9

17,5

18,9

16,2

11,1

6,1

3,91

(х)

0

0,0189

0,0551

0,1318

0,2617

0,4371

0,6261

0,7885

0,8999

0,9609

0,0024

0,0066

0,0141

0,0241

0,0327

0,0353

0,0303

0,0206

0,0112

0,0048

Таблица 9

bj 1

–100000

56,4

61,8

67,2

72,6

78

83,4

88,8

94,2

99,6

bj

56,4

61,8

67,2

72,6

78

83,4

88,8

94,2

99,6

100000

mj

1

3

13

10

17

18

14

13

8

3

–0,5

–0,4649

–0,4082

–0,3023

–0,1443

0,0714

0,2224

0,3577

0,4394

0,4788

–0,467

–0,408

–0,303

–0,144

0,071

0,222

0,357

0,439

0,478

0,5

0,0189

0,0362

0,0768

0,1299

0,1754

0,189

0,1624

0,1114

0,061

0,0391

1,89

3,62

7,68

12,9

17,5

18,9

16,2

11,1

6,1

3,91

(у)

0

0,0189

0,0551

0,1318

0,2617

0,4371

0,6261

0,7885

0,8999

0,9609

0,0024

0,0066

0,0141

0,0241

0,0327

0,0353

0,0303

0,0206

0,0112

0,0048

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]