Примерные билеты по теории вероятностей

Билет № 1

1. Виды событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.

2. Задача по теме «Теоремы сложения и умножения»

Вероятность того, что в страховую компанию в течение года обратится с иском о возмещении ущерба 1-ый клиент равна 0,108. Для второго эта вероятность равна 0,15; а для третьего – 0,62. Обращение клиентов – события независимые. Найти вероятность того, что в течение года обратится хотя бы два клиента.

3. Задача по теме «Непрерывные случайные величины»

С лучайная величина задана плотностью распределения:

0 , x ≤ 0

f(x) = 0,2 x² , 0 ≤ x ≤ 1

0 , x ≥ 1 Найти F(x) и построить ее график.

Билет № 2

1. Основные формулы комбинаторики.

2. Задача по теме «Теоремы сложения и умножения»

Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего, равна 0,3; для второго эта вероятность равна 0,27; для третьего – 0,18. Какова вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

3. Задача по теме «Дискретные случайные величины»

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х 1 3 5 7

р 0,2 0,3 0,1 0,4

Найти: М(Х), D(X), σ(x).

Билет № 3

1. Относительная частота.

2. Задача по теме «Формула полной вероятности. Формула Байеса»

На железнодорожном вокзале работают три билетные кассы. Вероятность того, что пассажир подойдет к первой кассе равна 1/3, ко второй – 2/5 и к третьей – 4/15. Вероятность того, что в нужном направлении будут билеты в кассах равна соответственно 1/2, 1/4 и 1/6. Пассажир купил билет в одной кассе. Найти вероятность того, что билет был приобретен во второй кассе.

3. Задача по теме «Дискретные случайные величины»

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х -1 3 5 7

р 0,2 0,2 0,1 0,5

Найти: F(x) и построить ее график.

Билет № 4

1. Сумма событий, теорема сложения вероятностей несовместных событий.

2. Задача по теме «Формула полной вероятности. Формула Байеса»

В вычислительной лаборатории имеется одинаковое число компьютеров трех типов. Вероятность сбоя компьютеров каждого типа соответственно равна 0,015; 0,018; 0,012. Наудачу выбранный компьютер во время работы не дал сбоя. Найти вероятность того, что это компьютер третьего типа.

3. Задача по теме «Повторные испытания»

Вероятность своевременного выполнения заказа равна 0,75. Найти вероятность того, что из 160 заказов своевременно выполнят не менее 100 и не более 130.

Билет № 5

1. Полная группа событий. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу. Противоположные события. Сумма вероятностей противоположных событий.

2. Задача по теме «Повторные испытания»

В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется три.

3. Задача по теме «Дискретные случайные величины»

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х 1 3 5 7

р 0,2 0,3 0,1 0,4

Найти числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое ожидание.

Билет № 7

1. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

2. Задача по теме «Дискретные случайные величины»

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

х 1 3 6 10

р 0,2 0,3 0,4 0,1

Найти числовые характеристики случайной величины Х: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

3. Задача по теме «Повторные испытания»

Известно, что 75%семян имеют свойство всхожести. Какова вероятность того, что из 500 посаженных семян прорастут не менее 300 и не более 400 семян.

Билет № 8

1. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

2. Задача по теме «Теоремы сложения и умножения»

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,74; для второго – 0,81. Найти вероятность того, что будет два попадания в мишень, если каждому стрелку дается право на один выстрел.

3. Задача по теме «Повторные испытания»

Книга издана тиражом в 50000 экземпляров. Вероятность того, что в книге имеется дефект брошюровки, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит 5 дефектных книг.

Билет № 9

1. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

2. Задача по теме «Теоремы сложения и умножения»

Агрегат имеет три двигателя и способен функционировать, если работают по крайней мере два из них. Вероятность выхода из строя 1-го двигателя – 0,01; 2-го – 0,02; 3-го – 0,03. Какова вероятность выхода из строя агрегата?

3. Задача по теме «Непрерывные случайные величины»

Н епрерывная случайная величина задана законом распределения:

0 , х ≤ 1,5

F(x) = 2х – 3 , 1,5 ≤ х ≤ 2

1 , х ≥ 2

Найти математическое ожидание НСВ

.

Билет № 10

1. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

2. Задача по теме «Классическое определение вероятности»:

Студент выучил 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что из предложенных трех вопросов он знает ответ на два.