4. Преобразование недетерминированного конечного автомата в детерминированный конечный автомат

Детерминированный конечный автомат — это пятерка

А= (Q, V, М, S, Z), где

Q — алфавит состояний;

V — входной алфавит;

М — функция переходов(Q*VР(Q));

S — начальное состояние;

Z — множество заключительных состояний;

SZ.

В этом автомате, в отличие от недетерминированного, всегда одно начальное состояние, а также отсутствуют альтернативные состояния, в которые переходит автомат при подаче на вход одного и того же входного символа.

В данном случае такими состояниями являются q₁,q₃ и q₇, в которые переходит автомат из состояния q_o под воздействием х₇.

Преобразование недетерминированного конечного автомата в детерминированный основано на замене альтернативных состояний одним, эквивалентным этим состояниям, например:

Здесь три альтернативных состояния X, Y и Z в недетерминированном конечном автомате представляются одним [X Y Z] в детерминированном, которое представляет первые три состояния. Следовательно, если недетерминированный конечный автомат представляют пятеркой

А= (Q, V_T, M, S, Z),

то эквивалентный детерминированный конечный автомат имеет вид

А= (Q, V_T, М', S, Z).

Алфавит состояний Q' определяется через подмножество алфавита Q.

Функция переходов М определяется как

M([q₁,q₂,…,q_k],T)=[R₁,R₂,…,R_t],

если в недетерминированном конечном автомате

M({q₁, q₂,..., q_k}, T)={R₁, R₂,..., R_t }.

Начальное состояние S' =[S₁, S₂,..., S_i]=q_0, еcли S ={S₁, S₂,..., S_i}.

Множество заключительных состояний Z' образуется из элементов, в которых присутствует хотя бы одно состояние из множества Z недетерминированного конечного автомата.

Построенный по этим правилам эквивалентный детерминированный конечный автомат допускает одни и те же входные цепочки, что и исходный недетерминированный.

Рис. 2

В рассматриваемом примере недетерминированность автомата локально проявляется в том, что из некоторого его состояния q_i исходят несколько дуг, помеченных одним и тем же символом х_j (рис.2).

Недетерминированность в этом случае может быть легко устранена «склеиванием» двух состояний q₁ и q_k в одно q_1,k . При этом q_{1, k} инцидентны все исходящие дуги х_г, х_р, x_t, являющиеся исходящими дугами состояний q₁ и q_k (рис. 3).

Рис.3

Общий алгоритм нахождения детерминированного конечного автомата, эквивалентного недетерминированному, может быть описан следующим образом:

1. Построить начальное состояние S' и отметить им первую строку таблицы переходов.

2. Определить все состояния Q', которые могут быть достигнуты из данного состояния.

3. Если во вновь определенных состояниях не встречаются такие, которые отмечали ранее строки таблицы, то для них надо выделить новые строки и повторить п.2.

4. В таблице переходов выделить заключительные состояния Z'.

В результате применения этого алгоритма от автомата, орграф которого представлен на рис. 1, можно перейти к эквивалентному детерминированному автомату, таблица переходов которого приведена в табл. 5, а орграф — на рис. 4.

Таблица 5

	Хo	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
q0					q10			q1 q3 q7
q1,3,7		q2	q19			q9	q4
q2	q5
q4			q6
q5			q19			q8
q6			q19			q8
q8				qo				q19
q9				qo				q19
q10		q17	q14			q11
q11					q12
q12	q13
q13						q19
q14					q15
q15	q16
q16						q19
q17					q18
q18						q19
q19

Рис. 4.