49. Формальные логические модели.

В основе моделей такого типа лежит понятие формальной системы.

Постановка и решение любой задачи связаны с определенной предметной областью. Так, решая задачу анализа рынка мы вовлекаем в предметную область такие объекты, как конкретные регионы, конкретные товары, конкретные даты и общие понятия "регион", "товар", "дата" и т.д.

Все предметы и события, которые составляют основу общего понимания необходимой для решения задачи информации, называются предметной областью. Мысленно предметная область представляется состоящей из реальных объектов, называемых сущностями.

Сущности предметной области находятся в определенных отношениях друг к другу. Отношения между сущностями выражаются с помощью суждений. В языке (формальном или естественном) суждениям отвечают предложения.

Языки предназначенные для описания предметных областей называются языками представления знаний. Универсальным языком представления знаний является естественный язык. Однако использование естественного языка в системах машинного представления знаний наталкивается на ряд препятствий, главным из которых является отсутствие формальности естественного языка.

Логические выражения, построенные на языке представления знаний, могут быть истинными или ложными. Некоторые из этих выражений, являющиеся всегда истинными, объявляются аксиомами (или постулатами). Они составляют ту базовую систему посылок, исходя из которой и пользуясь определенными правилами вывода, можно получить заключения в виде новых выражений, также являющихся истинными.

Если перечисленные условия выполняются, то говорят, что система удовлетворяет требованиям формальной теории и такую систему называют формальной или аксиоматической.

Всякая формальная теория F = (A, V, W, R), определяющая некоторую аксиоматическую систему, характеризуется:

наличием алфавита (словаря) – A;

множеством синтаксических правил – V;

множеством аксиом, лежащих в основе теории, – W;

множеством правил вывода – R.

Классическими примерами аксиоматических систем являются исчисление высказываний и исчисление предикатов.

Исчисления высказываний

Логика высказываний – самый простой раздел математической логики, лежащий в основе всех остальных ее разделов. Основными объектами рассмотрения являются высказывания. Под высказыванием понимают повествовательное предложение, о котором можно сказать одно из двух: истинно оно или ложно. Пусть есть множество высказываний, фраз, принимающих значение «истина» или «ложь». Примером могут быть фразы «сегодня холодно». «Идёт дождь», «Коля Петров учится в БГЭУ», «Студент поехал в Китай» и др. Такие высказывания называют их элементарными высказываниями и обозначают прописными буквами латинского алфавита. В исчислении высказываний не рассматриваются утверждения, имеющие значения, отличные от значений «истинно» и «ложно». Не рассматривается и трёхзначная логика, со значениями, скажем «Да», «Нет», «Не знаю». Ответ отличный от «Да» должен быть «Нет». Древние философы называли этот принцип законом исключения третьего.

Высказывание – это утверждение, которое может быть только истинно или ложно. Его принято обозначать символами T (от True), или F (от False), или соответственно, 1 (для истинного значения) или 0 (для значения ложь).

Значение высказывания зависит от предметной области.

Например, высказывание «температура 30 градусов – жара» будет истинным в Беларуси и ложным на экваторе. Поэтому весьма важно конкретизировать область на которой определено употребляемое высказывание.

Из элементарных высказываний строятся более сложные высказывания с помощью логических связок «НЕ», «И», «ИЛИ», «ТО ЖЕ,ЧТО»(«ЭКВИВАЛЕНЦИЯ»),«ИЗ… СЛЕДУЕТ…»(« … ВЛЕЧЁТ…», «…ПОТОМУ, ЧТО…»). Связки логики высказываний представляют функции истинности или функции алгебры логики.

Исчисление предикатов

Логика высказываний позволяет формализовать лишь малую часть множества рассуждений. Высказывания, описывающие некоторые свойства объектов, или отношения между объектами выходят за рамки логики высказываний.

Например, мы не сможем судить о логической правильности такого простого рассуждения: «Каждое натуральное число является корнем некоторого квадратного уравнения. Число 5 –натуральное. Следовательно, 5 является корнем некоторого квадратного уравнения». Это неверное логическое заключение.

Логика предикатов начинается с анализа строения высказываний, которые выражают тот факт, что объекты обладают некоторыми свойствами, или находятся между собой в некоторых отношениях. Понятие «свойства» и понятие «отношения» рассматриваются как частный случай общего понятия «предиката». Объекты, о которых говорится в высказывании, называются термами или предметными константами.

Предметные константы, подобно константам в математике, определяют значения, которые могут быть приписаны в высказываниях предметным переменным. При этом каждой переменной соответствует свое множество предметных констант.

Например, если речь идет о студенческой группе, то переменной ФАМИЛИЯ соответствует множество констант – конкретных фамилий студентов группы, переменой ОЦЕНКА – множество констант {3,4,5,6,7,8,9,10}, переменной ВУЗ – множество названий ВУЗов.

Над переменными и константами определяются функции так же, как и в математике, т.е. как однозначное отображение декартово произведения X1×X2× …Xm ⇒Y, где Xi и Y – имена предметных переменных.