64. Загальна математична модель динаміки

У найбільш загальній моделі [2; 4] це досягається введенням поняття стану системи як деякої (внутрішньої) характеристики системи, значення якої в даний момент часу визначає поточне значення вихідної величини. Стан можна розглядати як свого роду сховище інформації, необхідної для передбачення впливу цього на майбутнє [1, с. 12 - 13]. Позначимо цей стан через z (t: ). Все сказане вище означає існування такого відображення ZТY, що

y(t() = t, z(t)), tT. (1) Явна залежність t введена для врахування можливості зміни залежно виходу від стану з плином часу. Це відображення називаетсяотображеніем виходу. Для завершення побудови моделі потрібно описати зв'язок між входом і станом, тобто ввести параметричне сімейство відображень_ t : ZX(·)Z, заданих для всіх значень параметрів tT, T    і t. Це означає прийняття аксіоми про те, що стан у будь-який момент t> однозначно визначається станом  z  в момент  і відрізком реалізації входу х (•) від  до t: z(t) = _t(z_?, x)) = ??((t; ?, z_?, x)).( (2) Таке відображення називають перехідним відображенням. Отже, математична модель системи, що відповідає рівню "білого ящика", - це завдання множин входів, станів і виходів, і зв'язків між ними:

Конкретизуючи безлічі Х, Z і Y, можна перейти до моделей різних систем. Так, і відображення дискретних і безперервних по часу і говорять про системах в залежності від того, дискретно або безперервно безліч Т. Далі, якщо безлічі Х, Z і Y дискретної за часом системи мають кінцеве число елементів, то таку систему називають кінцевим автоматом . Це досить простий клас систем в тому сенсі, що для дослідження кінцевих автоматів необхідні лише методи логіки і алгебри; в той же час це широкий і практично важливий клас, так як в нього входять всі дискретні (цифрові) вимірювальні, керуючі і обчислювальні пристрої, в тому числі і ЕОМ.

65. Структурна оптімізація систем, Як процес Прийняття рішень Структурна оптимізація систем, як процес прийняття рішень Необхідність структурної оптимізації обумовлена ​​наявністю порівняно великої номенклатури технічних засобів і способів, об'єднуючи їх в різні структури, які відрізняються один від одного рядом ознак, а саме, складом структурних елементів, технологією переробки інформації, просторовим поширенням елементів і ін Аналіз конкуруючих структур неминуче пов'язаний з використанням багатьох критеріїв і виконується в умовах невизначеності, тобто в умовах неповноти інформації щодо створюваної системи і зовнішнього середовища, що взаємодіє з нею. З цієї причини проблема структурної оптимізації формується як проблема багатокритеріального вибору раціональної структури з деякого безлічі конкуруючих структур в умовах невизначеності. Проблема структур оптимізації в такій постановці вирішується на основі методології системного аналізу.

Рівні оптимізації систем У процесі структурної оптимізації необхідно здійснювати цілеспрямований пошук альтернативних структур, тому їх випадковий перебір зазвичай не приводить до успіху. При цьому, чим більше альтернативних структур, тим з більшою ймовірністю можна гарантувати кінцевий результат, тобто вибір найбільш раціональної структури. Разом з тим, великий обсяг альтернативних структур породжує проблему відсіву (відбраковування) неперспективних структур, виходячи з тих або інших обмежень і вимог до системи. Таким чином процес структурної оптимізації - це процес систематизації альтернативних структур з відсівом неперспективних структур і визначення безлічі конкуруючих структур, з числа яких обирається раціональна структура.

66. Організація експеріментів з використаних системних Принципів. Організація експериментів з використанням системних принципів Припустимо, що здійснюється експеримент по зважуванню 3-х об'єктів А, В, С, причому важливо виявити процедуру зважування, оптимальну за критерієм точності. Традиційний підхід до зважування об'єкта реалізується за таким планом:

N опыта	Объекты взвешивания			Результаты взвешивания
	A	B	C
1	-1	-1	-1	У1
2	+1	-1	-1	У2
3	-1	+1	-1	У3
4	-1	-1	+1	У4

• -1 - об'єкт відсутній на вагах; • +1 - об'єкт присутній на вагах. Згідно з планом, спочатку здійснюється неодружене зважування, а потім по черзі зважується кожен з об'єктів. При цьому вага об'єкта визначається за результатами 2-х дослідів: А = У2-У1 В = У3-У1 С = У4-У1 Визначимо дисперсію визначення ваги об'єкта А:

D[A] = D[У₂-У₁] = D[(m₂+E₂)-(m₁+E₁)] = D[(m₂-m₁)+(E₂-E₁)] =  = D[m₂-m₁]+D[E₂-E₁] = D[E₂]+D[-E₁] = D[E₂]+(-1)2D[E₁] = 2⋅D[E], де D[E] - дисперсія випадкової помилки зважування

D[A] = 2⋅D[E]
D[B] = 2⋅D[E]	(*)
D[C] = 2⋅D[E]

Системна процедура зважування реалізується за таким планом:

N опыта	Объекты взвешивания			Результаты взвешивания
	A	B	C
1	+1	+1	+1	У1
2	+1	-1	-1	У2
3	-1	+1	-1	У3
4	-1	-1	+1	У4

Згідно з планом, спочатку здійснюється зважування всіх об'єктів, а потім послідовно зважується кожен з об'єктів. При цьому вага об'єктів визначається за результатами кожного з 4-х об'єктів:

A = (У₁ + У₂ - У₃ - У₄)/2

B = (У₁ - У₂ + У₃ - У₄)/2

C = (У₁ - У₂ - У₃ + У₄)/2

2 »- тому що ми як би двічі «зважили ковбасу». Визначимо дисперсію ваги об'єкта А D[A] = D[(У₁ + У₂ - У₃ - У₄)/2] = 1/4⋅D[У₁ + У₂ - У₃ - У₄] = 1/4⋅D[(m₁ +E₁) + (m₂ +E₂) - (m₃ +E₃) - (m₄ +E₄)] = 1/4⋅D[(m₁ + m₂ - m₃ - m₄) + (E₁ + E₂ - E₃ - E₄)] = 1/4⋅D[m₁ + m₂ - m₃ - m₄] + 1/4⋅D[E₁ + E₂ - E₃ - E₄] = 1/4⋅{D[E₁] + D[E₂] + D[-E₃] + D[-E₄]} = 1/4⋅4⋅D[E] = D[E]

D[A] = D[E]
D[B] = D[E]	(**)
D[C] = D[E]

Порівняння * і ** приводить до висновку: системна процедура зважування забезпечує подвоєння точності в порівнянні з традиційною процедурою. Приклади: спроба знайти кут в кімнаті, найближчій до вершини. Традиційна процедура базується на концепції однофакторного експерименту, причому вага об'єкта визначається за результатами 2-х дослідів. Системна процедура реалізує концепцію багатофакторного експерименту і передбачає визначення ваги об'єкта за результатами всіх 4-х дослідів. Т.ч. виграш в точності отриманий за рахунок організації багатофакторного експерименту.

67. Властивості кількості інформації. Властивості кількості інформації 1. Кількість інформації у Випадкове об'єкті X Щодо об'єкта Y дорівнює кількості інформації в Y відносно X: I (XiY) = I (Y1X). 2-4 ■ Одініці віміру ентропії та кількості інформації 2. Кількість інформації невід'ємна: I (X, Y) ^ 0. 3. Для дискретних X правдива рівність I (X1X) = H (X). 4. Перетворення ір (-) однієї віпадкової величини не Може Збільшити інформацію, Що містіться в ній, про іншу пов'язану з нею величину: l (<p (X), Y) ^ I (X, Y).

5.   Для незалежних пар величин кількість інформації адитивна:

68. Постановка Задачі векторної оптімізації та класіфікації багатокрітеріальніх методів. се розглянуті в попередніх розділах оптимізаційні задачі мали всього один критерій оптимальності, а моделі їх описують були однокрітеріальним. Теорія моделювання однокрітеріальним задач оптимізації та їх вирішення являє собою предмет розгляду математичного програмування, і досить глибоко опрацьована. У реальних задачах вибору найбільш кращого рішення, що виникають на практиці, як правило, присутні декілька критеріїв оптимальності. Можна навести багато прикладів, коли потрібно знайти рішення, для якого досягалися найкращі значення відразу за кількома критеріями. Найбільш поширена задача, яку ми вирішуємо дуже часто (не втілюючи їх у терміни оптимізації) - це пошук покупки, яка була якомога якісніше і якомога дешевше. Завдання вибору деякого рішення з множини припустимих рішень з урахуванням кількох критеріїв оптимальності називають багатокритеріальної завданням оптимізації. Багатокритеріальні задачі широко поширені в технічному проектуванні, наприклад, задача проектування комп'ютера з максимальною швидкодією, максимальним об'ємом оперативної пам'яті і мінімальною вагою або задача проектування електричного двигуна з максимальною потужністю, максимальним коефіцієнтом корисної дії, мінімальною вагою і мінімальними витратами електротехнічної сталі (природно, при обмеженнях на необхідні параметри проектованих пристроїв). Реальні багатокритеріальні управлінські завдання також широко поширені, гасло економіки СРСР 80-х рр.. - «Максимум якості при мінімумі витрат», незважаючи на його одіозність, висловлював сутність більшості проблем управління. Під багатокритеріальної завданням найчастіше розуміють не власне вербальний опис задачі, а її модель, а саме: «багатокритеріальна задача - математична модель прийняття оптимального рішення за кількома критеріями. Ці критерії можуть відображати оцінки різних якостей об'єкта або процесу, з приводу яких приймається рішення ». Формально багатокритеріальна задача як модель задається у вигляді:    

   , (5.1) де D - безліч допустимих рішень. F (x) - векторна функція векторного аргументу x, яку можна представити як F (x) = {f1 (x), f2 (x), ..., fk (x)}, де f1 (x), f2 (x), ..., fk (x) - скалярні функції векторного аргументу x, кожна їх яких є математичним виразом одного критерію оптимальності. Так як в даній моделі використовується векторна цільова функція, її часто називають задачею векторної оптимізації. Очевидно, що завдання (5.1) не належить класу задач математичного програмування, т.к.моделі цього класу задач містять завжди тільки одну цільову функцію векторного аргументу.

Інакше задачу (5.1) можна переписати у вигляді:    Сутність поставленого завдання полягає в нахождеіі такого її допустимого рішення, тобто }, Яке в тому чи іншому сенсі максимізує (мінімізує) значення всіх цільових функцій fi (x), i = 1, k. Існування рішення, буквально максимизирующего всі цільові функції, є рідкісним винятком. (Якщо згадати приклад про пошук одночасно дуже якісною і дуже дешевою покупки, то стає зрозумілим, що знаходження такого рішення - рідкісна удача, але, набагато більш часто, це нерозв'язна завдання). Звідси випливає, що принциповим моментом при вирішенні такого роду завдань є попередня домовленість, а що вважати самим кращим рішенням, тобто треба домовитися про використаний принципі оптимальності. Раніше використовуваний принцип оптимальності «добре те, що приносить найбільше (найменше) значення наявному єдиним критерієм оптимальності» в багатокритеріальних задачах очевидно «не працює». Завдання векторної оптимізації в загальному випадку не має строго математичного математичного рішення. Для отримання того чи іншого її вирішення необхідно використовувати додаткову суб'єктивну інформацію фахівця в даній галузі, якого прийнято називати особою приймає рішення (ОПР), в англійській мові - decision maker. Це означає, що при вирішенні задачі різними фахівцями із залученням різних джерел інформації, скоріше всього будуть отримані різні відповіді. Завдання векторної оптимізації, в даний час прийнято розглядати в рамках теорії прийняття рішень, основною особливістю завдань якої є наявність невизначеності. Ця невизначеність не може бути виключена з допомогою різних прийомів моделювання та об'єктивних розрахунків. У багатокритеріальних задачах невизначеність полягає в тому, що невідомо, яким критерієм віддати перевагу і в якій мірі. Для усунення цієї невизначеності необхідно, по-перше, сформулювати спеціальний принцип оптимальності, а також залучити додаткову суб'єктивну інформацію ОПР, засновану на його досвіді та інтуїції. 69. Системний аналіз у структурі сучасного системного досліджень. Системний аналіз виник у Відповідь на вимоги практики, Яка поставила нас перед нагальною потребою вівчаті та проектуваті складні системи, керуваті ними в умів неповноті інформації, обмеженості ресурсів, дефіціту годині. Дотепер трівають Суперечка, чі можна вважаті системний аналіз наукою, мистецтвом чи технологічнім ремеслом. Особливо гостра діскутуються застосування системного аналізу до проблем, пов'язаних Із соціотехнічнімі ї соціальнімі системами, у якіх вірішальну роль відіграють люди. Істотнімі в розв'язанні таких проблем віявляються НЕ Тільки питання Побудова та Використання моделей, не Тільки еврістічні пошуки розв'язків Слабкий структурованіх, не ЦІЛКОМ формалізованіх завдань, альо ї чисто психологічні аспекти людських взаємін, Що галі Більше відділяє системний аналіз от "чистих" наук типом фізики та математики. Різнорідні знання та системний аналіз. Суперечка про ступінь науковості системного аналізу зумовлені низьким причин. По-перше, Досить часто недооцінюють роботу з формулювання завдань. Багато хто вважає, Що Справжня робота не почінається Доті, Поки НЕ побудовано формальні Моделі, а виразі: "Добре поставіті задачу - означати наполовину розв'язати її" - розцінюють Як жарт. У системному аналізі акцентують Увага на труднощах формулювання завдань и способах їх Подолання. По-друге, для Подолання складності, природа якої пов'язана з неповною формалізованістю, потрібно систематично застосовуваті неформальні знання та методи. Це образно описавши І. Мітрофф. Свідомо спрощуючі класіфікацію знань, ВІН поділів їх на два Основні тіпі - формалізовані (академічні) i неформалізовані (жіттєві), а кож розглянув два рівні розвіненості ("високі" та "нізькі") для шкірного з ціх тіпів знань. У результаті можна Отримати табл. 4 [183]. Таблиця 4 Співвідношення Між двома типами знань

!Життєві	Академічні
Високі	Низькі
Високі	І	II
Низькі	IV	III

Аналізуючі Особливості роботи системних аналітіків, І. Мітрофф пише: "Інакше Кажучи, мі не маємо Ні Глибока" жіттєвіх "знань зсередіні про організацію, Якові мі Вивчаємо, НІ Дуже хороших формально теорій, котрі в разі їх додавання до організації пояснили б що-небудь, крім очевидного. Далі, традіційно Наукові кола наголошують на комірці IV. смороду цінують формальні Теорії Вище, Ніж знання практика, навіть ЯКЩО ї погоджуються колись, Що практики взагалі здатні мати Щось, Що назівається "знання". передбачена, Що практики, звичайна, мают віддаваті Переваги комірці II перед іншімі коміркамі . Залішається Ще одна комірка - І. Думаю, Що самє тут мают буті зосереджені Наші зусилля. Саме тут ми повінні працюваті. Я не вірю, Що ми можемо Створити Щось близьким до прікладної соціальної науки, ЯКЩО воно не буде грунтуватися на обох типах знань и на поважний ставленні до них обох "[183]. Усе сказань підтверджує, Що системний аналіз поєднує теорію та практику, здорового глузду и абстрактного формалізацію. 70. Поняття системи Визначення Поняття «система». Фундаментальні поняттям системного аналізу и таких засадних теоретичних дисциплін, Як теорія систем, кібернетіка, Дослідження операцій, є Поняття «система». Незважаючі на інтуїтівну зрозумілість та велику важлівість цього терміна для наукових досліджень, доніні НЕ існує загальнопрійнятого Його визначення. Огляд різніх трактування Поняття «система» показує, Що можна віділіті Такі Основні пов'язані з ним змістові аспекти: • найпошіренішім, альо ї найвужчім є «Інженерне» розуміння системи Як взаємозв'язаного набору елементів та способів їх з'єднання, які слугують певній меті; • у «конструкторсько» розумінні «система» подається Як проектування та Створення Певного комплексу методів и засобів, які Дослідник або Розробник застосовує для Досягнення певної мети, для виконан свого Завдання; • в науково-дослідніцькому трактуванні «система» уявляється Як загальна методологія Дослідження процесів и явищем, Що відносяться до певної Галузі людських знань; • у теоретико-пізнавальному аспекті «система» розуміється Як спосіб мислення. У Науковій літературі є Багато визначеня Поняття «система», Що відносяться Як до загально, так и до конкретних систем різніх відів [7, 15, 29, 30, 31, 45]. У дерло визначених у тій чи іншій формі позначають, Що система - ції Елементи та зв'язки Між ними. Так, Наприклад, основоположник Теорії систем Людвіг фон Берталанфі візначав систему Як комплекс взаємодіючіх елементів, Що перебувають у Певної відношеннях Між собою та зовнішнім середовище. Пізніше при візначенні цього терміна стало з'являтися Поняття цілі. Так, у філософському словнику система візначається Як «сукупність елементів, Що знаходяться у відношеннях та зв'язках Між собою Певної чином та утворюють Деяк Єдність цілей». Останнім годиною при візначенні системи поряд Із елементами, зв'язками, їх властівостямі та ціллю Почаїв включать спостерігача, хоча на необхідність врахування взаємодії Між дослідніком та досліджуваною системою вказував галі Один із основоположніків кібернетики У. Р. Ешбі. Зауважімо, Що у різніх визначеня Поняття «система» є Багато Спільного та взаємно доповняльного, тому кращє вікорістовуваті найшірше з них [45]: • Наявність об'єкта, Який являє собою множини підоб'єктів (або Наявність множини об'єктів, які можут розглядатіся Як один складаний об'єкт); • Наявність суб'єкта Дослідження, Який назівається спостерігачем; • Наявність Завдання, його призначення та візначає відношення спостерігача до об'єкта и є крітерієм, за Яким здійснюється відбір об'єктів та їх властівостей; • Наявність зв'язку Між об'єктом, спостерігачем та Завдання, Що віражається у наявності певної мови описування. Перші три Умови утворюють Єдність, Що забезпечується наявністю мови, в якій проявляється їх взаємозв'язок. Це схематично показано на рис. 2.

Тоді формально визначення системи можна виразити символами: , де S - система, n - спостерігач, l - мова описування, p - Завдання, e - множини підоб'єктів, r - множини відношень Між ними, - оператор відображення. У такий спосіб система S буде являтися собою відображення властівостей підоб'єктів e та їх відношень r для n по p в l. У теоретико-пізнавальному аспекті можна віділіті три можліві аспекти Розгляд систем: 1) система розглядається Як взаємопов'язаній комплекс матеріальних об'єктів (такий підхід Зручний, головно, при дослідженні природних об'єктів або процесів матеріального виробництва); 2) система включає, з одного боку, набор матеріальних об'єктів, а з іншого - інформацію про їхній стан (такий підхід застосовується при опісуванні процесів Управління матеріальнім виробництвом); 3) система розглядається суто в інформаційному аспекті Як комплекс відношень, зв'язків, інформації (такий підхід прийнятя у теоретичних дослідженнях, за описування соціальніх відносін та процесів Управління). Кожній Із ціх підходів потребує відповідного спеціфічного наукового інструментарію для розв'язання трьох різніх відів Завдання. Системи оточують нас всюди: шкірні предмет, явищем, процес - ції системи. Наприклад, системами є Живі організмі, технічні Пристрої ТОЩО. Безумовно, системами є фірмі, корпорації, організації, банки, Галузі економікі та вся економіка в цілому.

71. Проблема повнотіла моделей. Повнотіла формальної Моделі - неодмінна, альо НЕ достатності умов для повнотіла декомпозіції. У залишковим підсумку всі поклади від повнотіла змістовної Моделі, побудованої "за образом" формальної Моделі, альо НЕ тотожної їй. Фрейм Ліше прівертає УВАГА експерта до спожи розглянуті, Що самє в реальній сістемі відповідає шкірному з Його складових елементів, а кож вірішіті, які з ціх елементів потрібно включіті в змістовну модель. Це Дуже відповідальній момент (Аджея ті, Що не потрапляє в модель-основу, не з'явиться в подалі аналізі) i Дуже важка (заздалегідь НЕ Завжди очевидно, Що Певний компонент має ввійті в основу). Питання достатності ступенів деталізації змістовніх моделей на відміну від фреймової Завжди залішається відкрітім. Щоб зберегтись повнотіла ї можлівість Розширення змістовної Моделі, можна Рекомендувати віконуваті логічне замикання Переліку її елементів компонентом "усьо Інше". Цей компонент зазвічай "мовчазній", бо до нього віднесено всі, Що Здається несуттєвім, альо ВІН Постійно нагадує експертові, ЩО, можливости, ВІН НЕ врахував Щось Важливе. Із проблемою ступенів деталізації Моделі-основи пов'язане питання зручності - Важко формалізовного, альо ЦІЛКОМ відчутного Поняття. Пояснімо Це на конкретному прікладі. Для аналізу проблем викладання Потрібна модель педагогічного процесу. Як фрейм для неї можна взяти модель діяльності взагалі (рис. 16), відповідно інтерпретувавші вхідні елементи. За допомог Такої Моделі педагогічного процесу вдалині впорядкуваті ї зіставіті низький сучасности напрямків у методічній роботі віщої школи.

Рис. 16. Загальна схема діяльності

 

Однак для аналізу організаційних аспектів навчального проце­су у вищих закладах освіти зручніша модель, у якій із фреймового елемента "засоби" як окремі елементи виділено не тільки інформа­ційний засіб "досліджуваний предмет", але й "технічні засоби навчан­ня (ТЗН)" (рис. 17).  Наприклад, можна вгледіти зв'язок граней піраміди на рис. 17 із такими організаційними аспектами навчального процесу, як ау- диторні практичні заняття, самостійна робота студентів, методична робота викладачів, лекційне викладання. Це зайвий раз підкреслює цільове призначення моделей: зміна мети моделювання потребує змі­ни моделі.