Лекція 8 б (на вибір)

Метод множників Лагранжа у нелінійному програмуванні. Нелінійне програмування – це математичний апарат для відшукання екстремуму нелінійних функцій за наявних обмежень. В загальному випадку ця задача має вигляд

знайти (12)

за умов (13)

де функції , - нелінійні функції змінних . На відміну від лінійного програмування в нелінійному – відсутні універсальні методи розв’язування типу симплекс-методу. Це пов’язано хоча б з тим, що допустима множина розв’язків, яка визначається (13) у загальному випадку не є випуклою, а крім того навіть у випадку випуклості, множина її крайніх точок не обов’язково скінченна. Тому методи нелінійного програмування розроблені лише під спеціальні класи задач.

Часто зустрічаються задачі, у яких цільова функція (12) є квадратичною, а ліві сторони (13) є лінійні функції. Тоді кажуть що маємо задачу квадратичного програмування.

Метод множників Лагранжа дозволяє знайти екстремум функції при обмеженнях-рівностях. Ідея методу полягає у переході від задачі на умовний екстремум до задачі на безумовний екстремум спеціально побудованої функції Лагранжа. Розглянемо задачу. Знайти

(14)

за умов (15)

Вважатимемо, що функції диференційовані. За кількістю обмежень (15) введемо набір змінних , які називаються множниками Лагранжа, та введемо допоміжну функцію Лагранжа

(16)

Для того, щоб вектор був розв’язком задачі (14) – (15), необхідно, щоб існував такий вектор , щоби пара векторів задовольняла систему рівнянь

(17)

Отже, метод множників Лагранжа складається з таких кроків:

1. Складаємо функцію Лагранжа виду (16);

2. Складаємо систему рівнянь (17);

3. Знаходимо її розв'язок і досліджуємо цільову функцію на екстремум.

Приклад 6. Знайти умовний екстремум функції

за умови .

Розв’язування. Складемо функцію Лагранжа

.

Візьмемо частинні похідні від функції Лагранжа за кожною змінною і прирівняємо їх до нуля

Розв’язки цієї системи .

Дослідимо характер функції в околі точки . Знайдемо

.

Так як і визначник , то функція опукла вниз і в критичній точці досягає мінімуму

.

Приклад 7. Знайти умовний екстремум функції

за умов .

Розв’язування. Складемо функцію Лагранжа

.

Візьмемо частинні похідні від функції Лагранжа за кожною змінною і прирівняємо їх до нуля

Додавши перші три рівняння і враховуючи два останніх, отримаємо:

,

або звідси .

Помножимо перше друге і третє рівняння системи відповідно на і додамо їх

Після скорочення . Або .

Таким чином, отримуємо систему рівнянь

Дійсні її розв’язки .

Оцінимо характер функції в околі точки . Для цього знайдемо в критичній точці значення

Обчислимо визначники в критичній точці

Так як знаки визначників чергуються то функція опукла вверх, отже в критичній точці досягається максимум

Лекція 9 – 10 – 11 ( матеріал на вибір) § 6. Статистична обробка експериментальних даних

Встановлення закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові явища, засноване на вивченні результатів спостережень. Якщо результатів спостережень дуже багато, то важливим є метод збору, групування даних, та вибору методів аналізу залежно від поставленої мети.

Вивчення статистичних закономірностей математичними методами служить важливим засобом для розв’язування багатьох практичних задач (правильна організація технологічного процесу на виробництві, найбільш раціональне планування і т.ін.).

Знаючи закон розподілу вибіркової сукупності, можна прогнозувати наперед поведінку досліджуваної статистики протягом певного часу або робити відповідні висновки про розподіл генеральної сукупності.