Лекція 8 а (на вибір)
Метод диференційних рент. Метод диференційних рент належить до групи методів розв’язування транспортної задачі, коли розв’язування починається з оптимального недопустимого плану, який потім перетворюється у допустимий, не втрачаючи оптимальності.
Наведемо алгоритм методу, вважаючи, що задача закрита.
Початковий план перевезень заповняємо найкращим чином, вибираючи у кожному стовпчику таблиці мінімальні вартості (виділяємо їх дужкою у верхньому кутку клітинки). У виділених клітинках заповняємо максимально допустимі перевезення. При цьому весь ресурс може бути не вичерпаний. Якщо ж потреби всі задоволені і запаси вичерпані, то задача розв’язана.
Якщо ж ресурс не вичерпаний, то у таблиці добавляємо рядок для різниць і стовпчик для нерозподілених ресурсів. Визначаємо надлишкові та недостатні рядки: рядок є надлишковим (додатним), якщо потреби задоволені і ще частина товару залишилась у пункті постачання; рядок є недостатнім (від’ємним), якщо запаси розподілені всі, а потреби ще не задоволені. Для рядка, у якого нерозподілений залишок дорівнює 0, можна користуватись правилом: рядок вважається додатним, якщо друга заповнена клітинка, яка знаходиться у стовпчику, що зв’язаний з таким рядком однією заповненою клітинкою, розташована у додатному рядку.
Для кожного стовпчика знаходимо різницю між вартістю перевезень у виділеній клітинці (перевезення в дужках) та найближчою до неї вартістю, яка записана у надлишковому рядку, причому якщо виділена клітинка знаходиться у додатному рядку, то різницю не визначають. Із всіх різниць вибирають найменшу за значенням – це проміжна рента.
Переходимо до нової таблиці – додаємо до відповідних вартостей перевезень, які знаходяться у від’ємних (недостатніх) рядках, проміжну ренту. Інші елементи не змінюємо.
Усі клітинки нової таблиці вважаємо вільними. Заповнюємо нову таблицю, де заповнених клітинок буде на одну більше. Ця додаткова клітинка є у стовпчику, в якому записана проміжна рента. У новій таблиці кількість клітинок, що заповнюються, є більша, ніж кількість стовпчиків. Обираємо деякий стовпчик (рядок), в якому є одна виділена клітинка. Цю клітинку заповнюємо і виключаємо з розгляду даний стовпчик (рядок). Продовжуючи цю процедуру, заповнюємо всі виділені клітинки. Якщо план допустимий, то він оптимальний, в іншому випадку переходимо до п.2.
Приклад 5. Розглянемо розв’язання транспортної задачі описаним вище методом. Нехай маємо транспортну задачу
Таблиця 1
-
140
100
160
Нерозподілений залишок і знаки рядків
90
90
(2)
5
(2)
‒210
0
200
4
(1)
5
+100
100
110
3
6
8
+110
Різниці
1
‒
3
Розв’язання. Відповідно до вказаного вище, у дужках виділено мінімальні вартості по стовпчиках. У них вписано максимально можливі перевезення (по одному перевезенню в кожному стовпчику). Згідно з балансовими умовами заповнюємо останній стовпчик, надаючи перевезенням рядкам відповідний знак. В останньому рядку виписано різниці (лише для від’ємних рядків) між виділеною вартістю і найближчою до неї. Із всіх різниць вибирають найменшу (у нас – 1, проміжна рента). У новій таблиці до елементів вартостей, які є у від’ємних рядках, додаємо проміжну ренту. Інші елементи не змінюємо. Отримаємо таблиці
Таблиця 2
-
140
100
160
Нерозподілений залишок і знаки стрічок
90
30
(3)
6
(3)
‒100
60
200
4
(1)
5
+100
100
110
(3)
6
8
‒0
110
Різниці
1
‒
2
Таблиця 3
-
140
100
160
Нерозподілений залишок і знаки рядків
90
0
(4)
7
(4)
‒70
90
200
(4)
(1)
5
+0
100
110
(4)
7
9
+70
Різниці
‒
‒
1
Таблиця 4
-
140
100
160
Нерозподілений залишок і знаки рядків
90
5
8
(5)
+0
90
200
(4)
(1)
(5)
+0
30
100
70
110
(4)
7
9
+0
110
Обчислення
закінчено, бо розподілено весь ресурс.
З останньої таблиці виписуємо розв’язок:
,
всі решта
.
.