Лекція 6 Метод штучної бази

Якщо система обмежень містить нерівності або рівності, тоді початковий опорний план знайти не так просто. У цих випадках його шукають за допомогою штучних змінних. Покажемо це на прикладі.

Приклад 3. Знайти максимум функції f = 2x₁ + 3x₂ – 5x₃ → max

при обмеженнях

Схема розв’язування. Запишемо задачу в канонічному вигляді

, .

Оскільки остання система не має додатної одиничної бази, введемо в неї три штучні змінні , які дозволяють отримати початкову одиничну базу.

Для виключення з бази цих змінних введемо їх у цільову функцію з великими від’ємними коефіцієнтами (у задачі мінімізації – з додатними ). Таким чином, отримаємо нову, так звану –задачу.

У загальному випадку штучні змінні вводяться лише в ті обмеження, де є знаки і =.

У нашому випадку маємо –задачу

, .

Базовими будуть вектори А₆, А₇, А₈. Задачу розв’язуємо вже відомим симплекс -методом.

Якщо в оптимальному розв’язку –задачі немає штучних змінних (штучні змінні вдається вивести з бази), то цей розв’язок є оптимальний і для вихідної задачі.

Якщо ж в оптимальному розв’язку –задачі хоча б одна зі штучних змінних відмінна від нуля, то система обмежень вихідної задачі несумісна і задача не має розв’язку.

Двоїстість (дуальність) у лінійному програмуванні. До кожної задачі ЛП зі змішаними обмеженнями виду

(7)

,

можна поставити другу задачу, яка називається двоїстою до першої

(8)

,

Сумісний розгляд таких пар задач дозволяє дослідити вплив зміни керованих і некерованих змінних системи на значення цільової функції.

Порівнюючи форми запису прямої і двоїстої задач, можна встановити такі взаємозв’язки між ними:

1. якщо пряма задача (7) – задача максимізації, то двоїста (8) – мінімізації, і навпаки;

2. коефіцієнти цільової функції прямої задачі (7) є вільними членами обмежень двоїстої задачі (8);

3. вільні члени обмежень прямої задачі є коефіцієнтами цільової функції двоїстої;

4. матриця обмежень двоїстої задачі записується транспонуванням матриці обмежень прямої задачі;

5. кількість змінних двоїстої задачі рівна кількості обмежень прямої, і навпаки – кількість обмежень двоїстої задачі рівна кількості змінних прямої;

6. взаємно однозначна відповідність між змінними вихідної задачі і обмеженнями двоїстої задовольняє положення: j–те обмеження двоїстої задачі буде нерівністю, якщо на j–ту змінну вихідної задачі накладено вимогу невід’ємності; якщо ж j–та змінна не обмежена в знаку, то це обмеження у двоїстій задачі буде рівністю.

Покажемо, на прикладі, як до задачі ЛП записати двоїсту задачу. Нехай маємо задачу

.

Щоб записати двоїсту задачу, зведемо систему обмежень до вигляду

.

Двоїста задача до даної матиме вигляд

.

Пара задач може бути симетричною і несиметричною. У симетричних задачах система обмежень задається у вигляді нерівностей, а на змінні накладена умова невід’ємності. У несиметричних задачах система обмежень прямої задачі задається рівностями, а у двоїстій – нерівностями, причому в останній змінні можуть бути і від’ємними.

Оскільки систему нерівностей за допомогою додаткових змінних можна звести до системи рівностей, то всяку пару симетричних задач можна подати у вигляді пари несиметричних.

Оптимальні значення цільової функції прямої та двоїстої задач відрізняються лише знаком. Тонкощі побудови таких розв’язків добре описані в спеціальній літературі.

При розв’язуванні задач ЛП часто цікавить не лише статична інформація про оптимальний розв’язок, а й можливі зміни оптимального розв’язку в результаті невеликих змін параметрів обмежень вихідної математичної моделі. У цьому випадку проводять аналіз моделі на чутливість. Така задача виходить за межі нашої програми.